Определение
Квадратичной формой [latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right)[/latex] от [latex]n[/latex] неизвестных [latex]x_{1}, x_{2}, …, x_{n}[/latex] называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.
Обозначая коэффициент при [latex]x_{i}^{2}[/latex] через [latex]a_{ii}[/latex], а при произведении [latex]x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right)[/latex] — через [latex]a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right)[/latex], квадратичную форму [latex]Q[/latex] можно представить в виде
[latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+…+a_{1n}x_{1}x_{n}+…+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+…+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}[/latex]
Симметричная матрица [latex]A= \left(a_{ij} \right)[/latex] называется матрицей квадратичной формы [latex]Q[/latex].
Примеры
Пример 1
Написать матрицу квадратичной формы.
[latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}[/latex]
Пример 2
Написать квадратичную форму по её матрице.
[latex]A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}[/latex]
[spoilergroup]
[latex]A=\begin{pmatrix}2 & 2& -1\\ 2& -5 & 3\\ -2&3 &8 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]Q\left(x_{1}, x_{2},x_{3} \right) = 4x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}-5x_{3}^{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}[/latex]
[/spoilergroup]
Литература
Тест на знание квадратичной формы
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
Информация
Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
Рубрики
- Нет рубрики 0%
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
- 1
- 2
- 3
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 3
1.
Матрицам квадратичных форм поставить в соответствие их квадратичные формы.
Элементы сортировки
- $$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{1}x_{2}$$
- $$Q\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{1}x_{2}$$
- $$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=5x_{3}^{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$$
- $$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=6x_{1}^{2}-7x_{3}^{2}+10x_{1}x_{3}$$
-
$$A=\begin{pmatrix}1&-1.5&0\\-1.5&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$
-
$$A=\begin{pmatrix}1&-1.5\\-1.5&2\end{pmatrix}$$
-
$$A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&2\\1&2&5\end{pmatrix}$$
-
$$A=\begin{pmatrix}6&0&5\\0&0&0\\5&0&-7\end{pmatrix}$$
-
Задание 2 из 3
2.
Какие из выражений, приведённых ниже, являются квадратичными формами?
-
Задание 3 из 3
3.
Какая из матриц, приведённых ниже, соответствует квадратичной форме [latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-7x_{2}x_{3}[/latex]?