Определение неявной функции одной переменной

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$. Рассмотрим $F\left(x, y \right)=0$.

Обозначим: $G_{F}$ — график уравнения $F\left(x, y \right)=0$ (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $F\left(x, y \right)=0$); $A_{F}=pr_{ox}G_{F}$ — проекция графика $G_{F}$ на ось $X$.

Определение

Если $G_{F}$ взаимно однозначно проектируется на $A_{F}$, то существует единственная функция $f: A_{F}\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_{F}$ ставит в соответствие $y$, такой, что $F\left(x, y \right)=0$.

Тогда говорят, что $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Примеры

Спойлер

$y-x^{2}=0$
график1
График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$, следовательно функция $y-x^{2}=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$xy-1=0$
график2
График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$, следовательно функция $xy-1=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$
график3
График функции не взаимно однозначно проектируется на отрезок $\left [ -0.5;0 \right ]$, следовательно функция $y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$x^{2}+y^{2}-1=0$
график4
А функция $x^{2}+y^{2}-1=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$, так как её график неоднозначно проектируется на отрезок $\left [ -1;1 \right ]$.

[свернуть]

Неявные функции

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Неявные функции

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение неявной функции одной переменной: 2 комментария

  1. — Ни в одной статье не было рисунков. Наличие рисунка обязательное требование.
    — После слова «Пример 1» писать «Например» излишне
    — В примере 2 слова «данная функция не …» подразумевают, что перед ними есть какая-то (данная) формула.
    — Не во всех вопросах отображаются формулы
    — Какие из данных функций заданы неявно? — такая формулировка означает, что все варианты должны быть функциями. Т.е. в вариантах возможны только явно и неявно заданные функции. Если бы Вы попросили «Выберите варианты в которых неявно задается функция «, то Ваши варианты ответа подошли бы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *