Гармоническим называется ряд: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots,$$ т.е. гармонический ряд состоит из членов, обратных числам натурального ряда.

Проверим гармонический ряд на сходимость:
Общий член гармонического ряда стремится к 0. $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0$$ Это показывает, что необходимое условие сходимости ряда выполняется. Для доказательства сходимости гармонического ряда будем использовать критерий Коши. По критерию Коши для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы: $$\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon },\forall n>N_{\varepsilon },\forall p > 0:\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |<\varepsilon$$ В качестве $\varepsilon$ выберем $\frac{1}{2}$ и $p=n$. Тогда: $$\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |=\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |>$$ $$>\left | \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |=\frac{1}{2}=\varepsilon$$ Из этого следует что гармонический ряд не удовлетворяет критерию Коши. Иначе говоря гармонический ряд расходится.

Обобщённым гармоническим рядом называется ряд: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha }}+\cdots$$ Обобщённый гармонический ряд расходится при $\alpha\leq 1$ и сходится при$\alpha>1$