Определение

Функция $f(x)=f(x_{1},…,x_{n})$ называется дифференцируемой в точке $x^{0}=(x^{0}_{1},…,x^{0}_{n})$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа $A_{1},…,A_{n}$, что при $x\rightarrow x^{0}$ выполняется равенство: $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x^{0}_{i})+o(\rho(x,x^{0})).  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Геометрический смысл

Рассмотрим случай двух переменных.

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой $\delta$-окрестности $U=U({M}’,\delta )$ точки ${M}’=({x}’,{y}’)$ и пусть $M=(x,y)\in U({M}’;\delta )$, $\Delta x=x-{x}'$, $\Delta y=y-{y}'$. Тогда, $\rho =\rho(M,{M}’)=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}<\delta$.

Пусть, наконец, $\Delta z=f({x}’+\Delta x,{y}’+\Delta y)-f({x}’,{y}’)$.

Обычно $\Delta z$ называется полным приращением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все независимые переменные получают приращения, отличные от нуля.

Доказательство

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$. Тогда выполняется условие $(1)$. Заметим, что равенство $\psi (x)=o(\rho(x,x^{0}))$ при $x\rightarrow x^{0}$ означает, что $\psi (x)=\varepsilon (x)\rho(x,x^{0})$, где $\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon (x)=0$.

Тогда $$\psi (x)=\frac{\varepsilon (x)}{\rho(x,x^{0})}\sum_{i=1}^n{}(x_{i}-x^{0}_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x^{0}_{i}),(3)$$ где $\varepsilon_{i} (x)=\varepsilon (x)\frac{x_{i}-x_{i}^{0}}{\rho(x,x^{0})}$, $\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0$, так как $0\leqslant \frac{\left | x_{i}-x_{i}^{0} \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant 1$.

Доопределим функции $\varepsilon _{i}(x)$ в точке $x^{0}$ по непрерывности, полагая что $\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=\varepsilon _{i}(x^{0})=0$.

Тогда из $(1)$ и $(3)$ получаем $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ $f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x)$.

Так как функции $\varepsilon _{i}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$, то и функции $f_{i}(x)$ непрерывны в этой точке и $f_{i}(x^{0})=A_{i}$, $i=\overline{1,n}$.

Пусть выполнено $(2)$. Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции $f_{i}(x)$ в точке $x^{0},$ положим $A_{i}=f_{i}(x^{0})$, $f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x)$, $\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0$.

Получаем $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+o(\rho(x,x^{0})),$$ так как при $x\rightarrow x^{0}$: $$\frac{\left | \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}) \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant \sum_{i=1}^n{\left | \varepsilon _{i}(x) \right |\rightarrow 0}.$$ $\square$

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.131-132
• Л.Д.Кудрявцев, Курс Математического Анализа, Том 2, стр.243-244
• Г.М.Фихтенольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1, 1962, стр.378-381

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

• Спасибо за участие!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 20 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   Дана функция $y=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x$.
   При каких значениях $x$ производная ${y}'(x)=0$?

   • -1;0;
   • -2:1;
   • -3;4;
   • -1;0;
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   $${y}’=x^{2}+x-2$$ .
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Исследовать на дифференцируемость следующие функции:

   Элементы сортировки

   • Дифференцируема всюду
   • Недифференцируема при $x=\frac{2k-1}{2}\pi$, $k$ - целое
   • Недифференцируема при $x=1$
   • Недифференцируема при $x=k\pi$, $k$ - целое

   • $y=\left | (x-1) (x-2)^{2}(x-3)^{3}\right |$

   • $y=\left | \cos x \right |$

   • $y=\left | \pi^{2}-x^{2} \right | \sin ^{2}x$

   • $y=\arcsin(\cos x)$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   В каком случае формулировка теоремы написана правильно ?

   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)-\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}+x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5
   Рубрика: Математический анализ

   Выяснить, будет ли функция $f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$ дифференцируема в точке $(0,0)$?

   • Нет
   • Да
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   При каком условии функция $f(x)=x^{n}\sin \frac{1}{x}, (x\neq 0)$ и $f(0)=0$:

   Элементы сортировки

   • $n>0$
   • $n>1$
   • $n>2$

   • а) непрерывна при $x=0$

   • б) дифференцируема при $x=0$

   • в) имеет непрерывную производную при $x=0$

   Правильно
   

   Неправильно