Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск)

Условие

Докажите, что уравнение $\displaystyle \bigl (\frac{\sin\: x}{x} \bigm) ^\beta  = \cos x$ на $\displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm)$ не имеет решений при $\beta \leqslant 3$, но имеет единственное решение при $\beta  > 3$.

Решение

Такие задачи обычно сводятся к исследованию функции с помощью производных. Трудность состоит в том, чтобы суметь удачно выбрать исследуемую функцию.
Исследование уравнения задачи мы начнем с очевидного замечания: при $\beta \leqslant 0$ оно решений не имеет. В самом деле, поскольку $\sin x < x$ при $x > 0$, то при $\beta \leqslant 0$ на всем интервале  $\displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm)$ выполнено неравенство $\displaystyle \bigl (\frac{\sin \: x}{x} \bigm) ^\beta \geqslant 1$.
Пусть $\beta > 0$ . Заметим, что функция   $\displaystyle \bigl (\frac{\sin\: x}{x} \bigm) ^\beta  — \cos\: x$ обращается в ноль в тех же точках интервала $\displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm),$ что и функция $$\displaystyle f(x) = \sin \:x \: \cos^{ \gamma} x — x,$$ где $\gamma =- \frac{1}{\beta}< 0$.
Изучим поведение $f(x)$ на полуинтервале $\displaystyle \lbrack 0;\frac{\pi}{2} \bigm)$. Имеем: $f(0)=0$, $f'(0)=0$, $f(x) \to +\infty$ при $\displaystyle x \to \frac{\pi}{2}$ . Далее, $f»(x)=-\sin\:x \cdot \phi(x)$, где $$\phi(x) = (1+\gamma)^{2}\: \cos^{\gamma}\:x — \gamma(\gamma-1) \cos^{\gamma-2}x$$ .
Заметим, что $\phi(x)$ имеет на  $\displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm)$ не более одного корня. Найдем знак функции $\phi(x)$ в окрестности нуля. Функция $\phi(x)$ положительна в некоторой окрестности точки $0$ , если
$$\gamma(\gamma-1) < (1+\gamma)^{2},\\ 2\gamma + 1 > -\gamma,\\ 1 > -3\gamma,\beta>3.$$

Легко видеть, что при $0 <\beta \leqslant 3$ на всем интервале  $\displaystyle \bigl(0;\frac{\pi}{2} \bigm)$ выполняется неравенство $\phi(x) < 0$.
Теперь мы знаем ход изменений функции  $f(x)$ на рассматриваемом интервале (рис. а и б). Тем самым утверждение задачи доказано.

Замечание. На рисунках в и г изображены графики функции  $f(x)$ при  $\beta < 0$ ; полезно проследить за изменением вида этого графика при изменении числа $\beta$ от  $0$ до  $+\infty$, а затем от $0$ до $-\infty$.