Processing math: 100%

5.7.2 Разложения основных элементарных функций

Формулу Тейлора с центром в точке x0=0 называют формулой Маклорена
f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f″(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+ˉo(xn) (x→0).

Построим разложения некоторых функций по формуле Маклорена.

  1. f(x)=ex, f′(x)=f″(x)=⋯=f(n)(x)=ex, f(0)=f′(0)=⋯=f(n)(0)=1. Поэтому получаем
    ex=1+11!x+12!x2+13!x3+⋯+1n!xn+ˉo(xn)==n∑k=01k!xk+ˉo(xn).
  2. f(x)=sinx, f′(x)=cosx, f″(x)=−sinx, f‴(x)=−cosx, f(4)(x)=sinx. Теперь легко видеть, что f(k)(x)=sin(x+kπ2) (k=0,1,…). Поэтому
    f(k)(0)={0, k=2s, s=0,1,…,(−1)s, k=2s+1, s=0,1,….
    Таким образом, получаем
    sinx=0+11!x+02!x2+−13!x3+04!x4+15!+⋯++(−1)n1(2n+1)!x2n+1+0(2n+2)!x2n+2+ˉo(x2n+2)==x—x33!+x55!—⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+ˉo(x2n+2)==n∑k=0(−1)kx2k+1(2k+1)!+ˉo(x2n+2).
  3. f(x)=cosx. Как и в предыдущем примере, легко убедиться в том, что f(k)(x)=cos(x+kπ2) (k=0,1,…). Отсюда
    f(k)(0)={(−1)s, k=2s,0, k=2s+1, и тогда
    cosx=1+01!x+−12!x2+03!x3+14!x4+⋯++(−1)n(2n)!x2n+0(2n+1)!x2n+1+ˉo(x2n+1)==1−x22!+x44!—⋯+(−1)nx2n(2n)!+ˉo(x2n+1)==n∑k=0(−1)kx2k(2k)!+ˉo(x2n+1).
  4. Функция f(x)=(1+x)α (α∈R) определена в окрестности нуля единичного радиуса. Имеем
    f′(x)=α(1+x)α−1, f′(0)=α,f″(x)=α(α−1)(1+x)α−2, f″(0)=α(α−1),…,f(k)(x)=α(α−1)…(α−k+1)(1+x)α−k,f(k)(0)=α(α−1)…(α−k+1). Поэтому
    (1+x)α=1+α1!x+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+…++α(α−1)…(α−n+1)n!xn+ˉo(xn)==1+n∑k=1α(α−1)…(α−k+1)k!xk+ˉo(xn).
    В частности, если α=n, то получим (1+x)n=1+nx+n(n−1)2!x2+…+xn, т. е. формулу бинома Ньютона. Если же α=−1, то 11+x=1−x+x2−…+(−1)nxn+ˉo(xn) — сумма геометрической прогрессии со знаменателем −x и первым слагаемым, равным 1.
  5. Функция f(x)=ln(1+x) определена в окрестности нуля радиуса 1. Имеем f(0)=0,
    f′(x)=11+x, f′(0)=1,f″(x)=−1(1+x)2, f″(0)=−1,f‴(x)=2(1+x)3, f‴(0)=2,f(4)(x)=−2⋅3(1+x)4, f(4)(0)=−2⋅3,…,f(k)(x)=(−1)k−1(k−1)!(1+x)k, f(k)(0)=(−1)k−1(k−1)!, k=1,2,…
    Отсюда имеем ln(1+x)=x−x22+x33−x44+…+(−1)n−1xnn+ˉo(xn)==n∑k=1(−1)k−1xkk+ˉo(xn).

Примеры решения практических заданий

  1. Вычислить предел I=limx→0exsinx−x(1+x)x3.
    Решение

    Используя равенства ex=1+x+x22+ˉo(x2), sinx=x−x36+ˉo(x4), получаем
    I=limx→0(1+x+x22+ˉo(x2))(x−x36+ˉo(x4))−x−x2x3= =limx→0x+x2+x32−x36+ˉo(x3)−x−x2x3=13.

  2. Вычислить предел I=limx→01−(cosx)sinxx3.
    Решение

    Поскольку sinxlncosx→0 (x→0), то
    I=limx→01−esinxlncosxx3=limx→01−(1+sinxlncosx+ˉo(sinxlncosx))x3.
    Воспользуемся следующими равенствами: ˉo(sinxlncosx)=ˉo(x(cosx−1))=ˉo(x3), sinx=x+ˉo(x2), lncosx=ln(1+(cosx−1))= =cosx−1−(cosx−1)22+ˉo((cosx−1)2)=−x22+ˉo(x3).
    Поэтому получим I=limx→0−(x+ˉo(x2))(−x22+ˉo(x3))+ˉo(x3)x3= =limx→0x32+ˉo(x3)x3=12.

  3. Вычислить предел I=limx→+∞(6√x6+x5−6√x6−x5).
    Решение

    I=limx→+∞(6√x6+x5—6√x6−x5)=limx→+∞(x6√1+1x—x6√1—1x)=
    =limx→+∞x((1+1x)16−(1−1x)16)=
    Воспользовавшись разложениями
    (1+1x)16=1+16x−572x2+ˉo(1x2)
    (1−1x)16=1−16x−572x2+ˉo(1x2) получаем
    I=limx→+∞x(13x+ˉo(1x2))=limx→+∞(13+ˉo(1x))=13

  4. Вычислить предел I=limx→+0ax+a−x−2x2 (a>0).
    Решение

    I=limx→+0ax+a−x−2x2=limx→+0exlna+e−xlna−2x2
    Воспользовавшись следующими разложениями
    exlna=1+xlna+x22!ln2a+ˉo(x2),
    e−xlna=1—xlna+x22!ln2a+ˉo(x2) имеем

    I=limx→+0(ln2a+ˉo(1))=ln2a (a>0).

Разложения основных элементарных функций

Пройдите тест, чтобы проверить свои знания о разложениях основных элементарных функций

Таблица лучших: Разложения основных элементарных функций

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

См. также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *