Условие
Из двух одинаковых кусков стальной проволоки свили две пружины. Диаметр витков одной из них равен d, другой 2d. Первая пружина под действием груза растянулась на одну десятую своей длины. На какую часть своей длины растянется под действием того же груза вторая пружина?
Решение
Удлинение пружины равно Δl=n⋅2d⋅sinα2, где n — число витков пружины, а α — угол, на который разворачиваются соседние витки пружины (Рис.). Так как удлинение пружины мало, то этот угол мал и sinα2≈α2. Поэтому Δl=ndα.
Угол α пропорционален моментам сил F, которые растягивают виток: α≃F⋅d. Сила F равна весу груза, подвешенного к пружине, и одинакова в обоих случаях, поэтому Δl∼nd2.
Диаметр витков второй пружины вдвое больше, а число витков у неё вдвое меньше, следовательно, абсолютное удлинение второй пружины вдвое больше, чем у первой. Таким образом, вторая пружина растянется на 25 своей длины.
Многие, приславшие решение этой задачи, правильно нашли, что удлинение второй пружины в два раза больше чем первой, но забыли, что вторая пружина в двое короче, чем первая, поэтому относительное удлинение второй пружины равно не 15, как получилось у них, а 25.
Откуда формула alpha = F * d с размерностью работы?
Почему ответ 2/5, а не 1/5?
Обозначение буквой d на рисунке разве правильное?
Спасибо за коментаий. Угол действительно не может иметь размерность работы, я исправил эту несураицу.
Хочу отметить, что в данной задаче это момент силы, а не работа. Работа связана с перемещением, а здесь у нас сила приложенная к определённому участку пружины, то есть к плечу длинной d.
Я прописал подробнее почему именно 25, а не 15. Да, на рисунке d обозначенно правильно. Это диаметр первой пружины. Рисунок изображает разрез первой пружины в вертикальной плоскости.
>> Да, на рисунке d обозначенно правильно
Ну Вы первую формулу посмотрите с синусом. Синус — это отношение противолежащего катета (т.е. удлинения L) к гипотенузе. Чтобы в формуле осталось только удлинение, нужно чтоб гипотенуза исчезла. Это возможно только когда d обозначает гипотенузу, а не второй катет. Либо иначе я не понимаю что такое L.
Про
>> Диаметр витков второй пружины вдвое больше, а число витков у неё вдвое меньше, следовательно, абсолютное удлинение второй пружины вдвое больше, чем у первой. <<
тоже не понимаю. При подстановке этих соотношений в формулу для дельта L (через число витков и d^2) должен остаться множитель 2. Т.о. если исходная пружина на 10% своей длины выросла, то вторая должна на 20%. Правильно?
Вы сами написали ответ на свой вопрос. При подстановке в формулу d2 множитель аналогично будет возведён в квадрат. И мы получим 410 или 25.
Что касательно угла α так как он мал, то больший катет (d) в приближении может играть роль гипотенузы. Это точно так же как мы приближаем значение синуса к значению аргумента.
В условии задачи нет намёка на малость угла /alpha. В пружинах, растягивающихся на 10%, а тем более на 40% своей длины малость угла /alpha сложно представить.
Решение похоже на подгонку к ответу.
>> Так как удлинение пружины мало, то этот угол мал <<
В условии данной задачи мы пренебрегаем толщиной проволоки из которой свили пружину. Когда на пружину не действуют силы исходя из вышеописанного допущения угол α равен 0, а при растяжении пружины её удлинение будет равномерно распределено между всеми её витками, раз толщина →0 то и количество витков будет →∞, значит и расстояния между соседними витками будут →0 из чего следует малость угла α.
Бесконечное число витков, но растягивается только на 10% своей длины.
Диаметр вдвое больший мы принимаем к сведению в целях расчёта длины, а вдвое меньшее число витков (которое одновременно является бесконечно большим) игнорируем.
Я понял вашу логику. Благодарю.