Рассмотрим отображение $f : E \longmapsto R^m,$ где $E \subset R^n.$ Оно состоит из $m$ функций: $f = \left(f_1 \left(x_1,\ldots,x_n \right),f_2 \left(x_1,\ldots,x_n \right),\ldots,f_m \left(x_1,\ldots,x_n \right) \right),$ которые осуществляют отображение множества $E$ из $R^n$ в пространство $R^m.$
Предположим, что функции $f_k \left(x_1,\ldots,x_n \right),$ где $k = \overline{1,m},$ дифференцируемы, то есть имеют частные производные по аргументам $(x_1,\ldots,x_n):$
$\frac{\partial f_1}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f_n}{\partial x_n}, x = \overline{1,m}.$
Составим матрицу из этих частных производных по переменным $x_1,\ldots,x_n$
$$\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$
Такая матрица называется матрицей Якоби.
Если $m = n,$ то получаем квадратную матрицу, определитель которой называется определителем Якоби или якобианом $Jf(x)$ и обозначается
$$Jf(x) = \frac{\partial (f_1, \ldots, f_n)}{\partial (x_1, \dots, x_n)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_n}{\partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}(x) \end{vmatrix}.$$
Замечание. Если все частные производные непрерывны, то и сам оределитель Якоби является непрерывной функцией.
Теорема. Якобиан тождественно равен нулю в некоторой области $\mathbb{S}$:
$\frac{D(f_1,f_2, \ldots, f_n)}{D(x_1,x_2, \ldots, x_n)} \equiv 0$ при $x = \left(x_1, \ldots, x_n \right) \in \mathbb{S}$
тогда и только тогда, когда между функциями $f_1,f_2,\ldots,f_n$ имеется функциональная зависимость в $\mathbb{S},$ то есть существует функция $G \left(y_1,y_2,\ldots,y_n \right) \not \equiv 0$ такая, что
$G \left(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x) \right) \equiv 0$ при всех $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{S}.$
Пример 1.Являются ли функции функционально зависимыми?
\begin{cases} f_1 = x_1 + x_2 + x_3 -1; \\ f_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 -2; \\ f_3 = x^2_1 + x^2_2 + x^2_3 + 3. \end{cases}
Решение.
$\frac{D(f_1,f_2,f_3)}{D(x_1,x_2,x_3)} = \begin{vmatrix} \\ 1 & 1 & 1 \\ x_2 + x_3 & x_1 + x_3 & x_1 + x_2 \\ 2x_1 & 2x_2 & 2x_3 \end{vmatrix} = $
$=\begin{vmatrix} \\ 1 & 1 & 1 \\ x_1 + x_2 + x_3 & x_1 + x_2 + x_3 & x_1 + x_2 + x_3 \\ 2x_1 & 2x_2 & 2x_3 \end{vmatrix} \equiv 0$
Так как якобиан равен нулю, то эти функции функционально зависимы. Несложно найти эту зависимость:
$\left(f_1 + 1 \right)^2 -2\left(f_2 + 2 \right) -\left(f_3 -3\right) = 0.$
Пример 2. Для линейных функций $f_1 = a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n -b_1, \ldots , f_m = a_{m1} x_1 + a_{mn} x_n -b_m$ матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:
Решение.
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}
Если мы хотим разрешить систему $f_1 = 0,f_2 = 0, \ldots, f_n = 0$ относительно $x_1, \ldots, x_n,$ то для случая $m = n$ определитель Якоби
\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}
есть определитель системы и для её разрешимости он должен быть отличен от нуля.
Пример 3. Переход элементарной площади $dS = dx\,dy$ от декартовых координат $ \left( x,y \right)$ к полярным координатам $ \left( r,\phi \right)$:
Решение.
$\begin{cases} x = r\,\cos(\phi); \\ y = r\,\sin(\phi). \end{cases}$
Матрица Якоби имеет вид:
$$J(r,\phi) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -r\,\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & r\,\cos(\phi) \end{pmatrix}.$$
Якобиан перехода от декартовых координат к полярным есть определитель матрицы Якоби:
$J(r,\phi) = \det I(r,\phi) = \det\begin{pmatrix} \cos(\phi) & -r\,\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & r\,\cos(\phi) \end{pmatrix}.$
Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:
$dS = dx\,dy = J\left(r,\phi \right) dr\,d\phi = r\,dr\,d\phi.$
Пример 4.Переход элементарного объёма $dV$=$dx$ $dy$ $dz$ от декартовых координат $\left(x,y,z \right)$ к сферическим координатам $\left(r,\theta,\phi \right)$ :
Решение.
$\begin{cases}x = r\,\sin(\theta)\,\cos(\phi); \\ y = r\,\sin(\theta)\,\sin(\phi); \\ z = r\,\cos(\theta).\end{cases}$
Матрица Якоби имеет следующий вид: $I(r,\theta,\phi) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial z}{\partial \theta} \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{pmatrix} =$
$= \begin{pmatrix} \sin(\theta) \cos(\phi) & r\,\cos(\theta) \cos(\phi) & -r\,\sin(\theta)\,\sin(\phi) \\ \sin(\theta)\,\sin(\phi) & r\,\cos(\theta)\,\sin(\phi) & r\,\sin(\theta)\,\cos(\phi) \\ \cos(\theta) & -r\,\sin(\theta) & 0 \end{pmatrix}.$
А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим – есть определитель матрицы Якоби:
$J\left(r,\theta,\phi \right) = \det I\left(r,\theta,\phi \right)$ =
= $\begin{vmatrix} \sin(\theta)\,\cos(\phi) & r\,\cos(\theta)\,\cos(\phi) & -r\,\sin(\theta)\,\sin(\phi) \\ \sin(\theta)\,\sin(\phi) & r\,\cos(\theta)\,\sin(\phi) & r\,\sin(\theta)\, \cos(\phi) \\ \cos(\theta) & -r\,\sin(\theta) & 0 \end{vmatrix} = r^2\sin(\theta).$
Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
$dV = dx\,dy\,dz = J\left(r,\theta,\phi \right) dr\,d\theta\,d\phi = r^2\,\sin(\theta)\,dr\,d\theta \,d\phi.$
Матрица Якоби
Для закрепления пройденного материала предлагается пройти тест.
Список использованной литературы
- Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу.-Одесса : Астропринт, 2009. стр.309-311
- Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо. №3990.
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Том 1 / Г.М. Фихтенгольц – М.: Книга по Требованию, 2013. стр.455-456.