М778. Общая точка

Задача из журнала «Квант» (1982 год, 12 выпуск)

Условие

Дан неравнобедренный треугольник $A_{1}A_{2}A_{3}$ . Пусть $a_{i}$ – его сторона, лежащая против вершины $A_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$ , $M_{i}$ – середина стороны $a_{i}$ , $T_{i}$ – точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный треугольник, $S_{i}$ – точка, симметричная $T_{i}$ относительно биссектрисы угла $A_{i}$ треугольника.

Докажите, что прямые $M_{1}S_{1}$ , $M_{2}S_{2}$ и $M_{3}S_{3}$ имеют общую точку.

Доказательство

Стороны треугольника $M_{1}M_{2}M_{3}$ соответственно параллельны сторонам треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ . Мы докажем, что и стороны треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$ параллельны сторонам $A_{1}A_{2}A_{3}$ . Отсюда вытекает, что $\triangle$ $S_{1}S_{2}S_{3}$ гомотетичен $\triangle$ $M_{1}M_{2}M_{3}$ или переводится в него параллельным переносом. Второй случай отпадает, ибо окружность, описанная около треугольника $M_{1}M_{2}M_{3}$ , больше описанной окружности треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$ . Следовательно, прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников $S_{1}S_{2}S_{3}$ и $M_{1}M_{2}M_{3}$ , должны пересечься в одной точке — центре гомотетии.

Покажем, например, что прямые $S_{1}S_{2}$ и $A_{1}A_{2}$ параллельны (см. рисунок). При симметрии относительно биссектрисы угла $A_{1}$ точка $S_{1}$ перейдет в $T_{1}$ , а $T_{3}$ — в $T_{2}$ , поэтому дуги $S_{1}T_{3}$ и $T_{1}T_{2}$ вписанной окружности треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ равны. Аналогично, при симметрии относительно биссектрисы угла $A_{2}$ дуга $T_{1}T_{2}$ перейдет в дугу $T_{3}S_{2}$ . Следовательно, дуги $S_{1}T_{3}$ и $T_{3}S_{2}$ равны, и поэтому точки $S_{1}$ и $S_{2}$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $A_{1}A_{2}$ , то есть $S_{1}S_{2}$ $\parallel$ $A_{1}A_{2}$ . Аналогично доказывается, что и две другие стороны треугольника $S_{1}S_{2}S_{3}$ параллельны соответствующим сторонам треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ .

А. П. Савин

М778. Общая точка: 9 комментариев

Artem:

07/04/2020 в 22:01

>> поэтому дуги S1T2 и T1T2 вписанной окружности треугольника A1A2A3 равны.

Вы на рисунок свой посмотрите, равны они или нет…

Ответить
1. Anna Tsyvinska:
  
  08/04/2020 в 10:16
  
  Спасибо за замечание, действительно, я допустила ошибку при наборе текста. Исправила: «… поэтому дуги S1T3 и T1T2 вписанной окружности треугольника A1A2A3 равны.»
  
  Ответить
  1. Artem:
    
    11/04/2020 в 01:03
    
    В Кванте официальная политика Редакции вносить ошибки во все решения, чтоб те, кто эти решения читает, немного напрягали мозги
    
    Ответить
Igor Mazurok:

10/04/2020 в 19:27

По оформлению.
— Зачем Вам понадобилось это \ usepackage{latexsym}?
— Вы делаете переходы на новую строку прямо в середине предложения.
— Вы используете «запрещенные» не семантические теги BR чтобы вставить переход на новую строку и там, где этого нет к авторов.

Ответить
1. Anna Tsyvinska:
  
  12/04/2020 в 11:43
  
  Спасибо, исправила
  
  Ответить
Igor Mazurok:

27/04/2020 в 10:27

По SVG.
— Все дополнительные линии обозначения углов должны быть заметно тоньше линий построения, а сам исходный треугольник должен быть нарисован толще линий дополнительного построения. Для этого можно использовать нецелую толщину линий, например stroke-width=»0.5″, поскольку толщина задается не в пикселях, а в абстрактных единицах чертежа.
— Для рисования точек вы используете отрезки нулевой длины с закругленными краями. Это извращенный но остроумный способ рисования закрашенной окружности. Даже не знаю, требовать переделки или оставить так. На ваше усмотрение.

Ответить
1. Anna Tsyvinska:
  
  27/04/2020 в 11:56
  
  Добрый день, исправила и ширину линий, и способ рисования точек.
  
  Ответить
  1. Igor Mazurok:
    
    27/04/2020 в 12:07
    
    Для прямых углов не исправили.
    
    Ответить
    1. Anna Tsyvinska:
      
      27/04/2020 в 12:50
      
      Прошу прощения, мне стыдно за мою невнимательность и спешку — такого больше не повторится. Теперь я точно всё исправила.
      
      Ответить

Условие

Доказательство

М778. Общая точка: 9 комментариев

Добавить комментарий Отменить ответ