M1753. Вершина угла на середине хорды

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 6 выпуск)

Задача

Окружность, вписанная в △ABC,  касается его сторон в точках  A′, B′, C′,  точка L – середина отрезка A′B′ (см. рисунок). Докажите, что ∠ALB — тупой.

Введем обычные обозначения: AB=c, BC=a, CA=b, p — полупериметр △ABC. Так как CA′=CB′=p−c и CL биcсектриса ∠C, CL=(p−c)cos(C2). Применяя теорему косинусов к △ACL и △BCL, получим AL2=b2+(p−c)2cos2(C2)−2b(p−c)cos2(C2),

BL2=a2+(p−c)2cos2(C2)−2a(p−c)cos2(C2),
AL2+BL2−c2=2(abcosC−p(p−c)cos2(C2))=
=2(ab−p(p−c)−abtg2(C2))(1+tg2(C2)).
Поскольку ab−p(p−c)=((p−a)+(p−c))((p−b)+(p−c))−
−(p−c)((p−a)+(p−b)+(p−c))=(p−a)(p−b),
tg2(C2)=r2(p−c)2=(p−a)(p−b)p(p−c),
a p(p−c)<ab, выражение AL2+BL2−c2 отрицательно, т.е. ∠ALB тупой.

А.Заславский

M1753. Вершина угла на середине хорды: 4 комментария

  1. По рисунку
    — Смысл вашей работы в том чтобы ВЫЧИСЛИТЬ все координаты, а не чертить как художник рисует. Касательные должны касаться. Точки на пересечении должны быть именно там, а не «типа» там. Посмотрите через Сtrl + если не ясно о чем идет речь. И обязательно все вычисляйте. 1-2 знака после запятой в зависимости от выбранного диапазона координат.
    — Обозначения угла, равных отрезков как и любые дополнительные линии на чертеже делают минимум в два раза тоньше основных линий.
    — В журнале окружность нарисована другой толщиной, а мы можем и выделить ее цветом. Возможно даже стоит сделать дополнительные построения отрезков еще и третьим цветом. Или выделить толщиной. Подумайте, как сделать чтобы лучше воспринималось или просто воспроизведите как здесь.
    По тексту.
    — Вы заметили, что часть формул вынесены в отдельную строку? Не пожалейте для них $$.
    — У многих видел «Условие»… «Решение»… Но у Вас «Условие-Доказательство». Это как-то по смыслу не сходится. Придумайте что-то вместо «Условие». Можно «Задача», можно вообще убрать. Или и так хорошо?
    — Не используйте слеши для обозначения дробей — нам нет необходимости экономить бумагу.
    — Помните я на прошлой встрече рассказывал как делать скобки в laTeX и почему так как у Вас это плохо?

    Ответить

      1. — Все буквенные названия углов, треугольников и т.п. это формулы. Нужно их ВСЕ сделать в laTeX
        — Я уже писал в нашем телеграмм-канале, Enter делает переход на новую строку. Зачем Вы его используете? Формула в отдельной строке это $$. Последняя формула, например, у Вас и доллары и перевод с строки. В результате она идет с дополнительным вертикальным отступом. Удивительно, но Enter Вы вставили даже в те формулы, которые я Вам оформил. Зачем?

        Ответить

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *