$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$

Задача из журнала «Квант» (2003 год, 1 выпуск)

Условие

Из тонкой жесткой проволоки согнули угол $90^{\circ}$, одну из сторон угла закрепили в вертикальном положении, другую — в горизонтальном (рис. $1$). На каждую из сторон надели маленькую шайбу массой $M$ и соединили шайбы легким стержнем длиной $L$. Вначале этот стержень почти вертикален, затем от малого толчка система приходит в движение. Найдите максимальные скорости каждой из шайб. Трение отсутствует.

Решение

Нижняя шайба вначале разгоняется, но к концу пути она должна остановиться; следовательно, где-то в промежуточном положении ее скорость будет максимальной. Запишем закон сохранения энергии (см.рис. $2$):

$$\frac{Mv^2}{2}+\frac{Mu^2}{2} = MgL(1 — \cos \alpha)$$ и соотношение между скоростями: $$v\cos \alpha = u\sin \alpha.$$

Тогда получим

$$u^2(1 + \tg^2 \alpha ) = 2gL(1 — \cos \alpha ),$$ или $$u^2 = 2gL(1 — \cos \alpha )\cos ^ 2\alpha .$$

Возьмем производную по углу и приравняем ее к нулю:

$$-2\cos \alpha _{0}\sin \alpha _{0} + 3\cos ^2\alpha _{0}\sin \alpha _{0} = 0.$$

Подходит только $\cos \alpha _{0} = 2/3$, поэтому

$$u_{m} = u(\alpha _{0}) = \sqrt{\frac{8}{27}gL} \approx 0,55\sqrt{gL}.$$

Когда верхняя шайба почти достигнет своего положения внизу, скорость второй станет равной нулю, и вся энергия достанется верхней. В этот момент

$$v = v_{m} = \sqrt{2gL} \approx 1,41\sqrt{gL}.$$

Р. Александров