$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$
Задача из журнала «Квант» (2003 год, 1 выпуск)
Условие
Из тонкой жесткой проволоки согнули угол $90^{\circ}$, одну из сторон угла закрепили в вертикальном положении, другую — в горизонтальном (рис. $1$). На каждую из сторон надели маленькую шайбу массой $M$ и соединили шайбы легким стержнем длиной $L$. Вначале этот стержень почти вертикален, затем от малого толчка система приходит в движение. Найдите максимальные скорости каждой из шайб. Трение отсутствует.
Решение
Нижняя шайба вначале разгоняется, но к концу пути она должна остановиться; следовательно, где-то в промежуточном положении ее скорость будет максимальной. Запишем закон сохранения энергии (см.рис. $2$):
$$\frac{Mv^2}{2}+\frac{Mu^2}{2} = MgL(1 — \cos \alpha)$$и соотношение между скоростями: $$v\cos \alpha = u\sin \alpha.$$
Тогда получим $$u^2(1 + \tg^2 \alpha ) = 2gL(1 — \cos \alpha ),$$ или $$u^2 = 2gL(1 — \cos \alpha )\cos ^ 2\alpha .$$
Возьмем производную по углу и приравняем ее к нулю: $$-2\cos \alpha _{0}\sin \alpha _{0} + 3\cos ^2\alpha _{0}\sin \alpha _{0} = 0.$$
Подходит только $\cos \alpha _{0} = 2/3$, поэтому $$u_{m} = u(\alpha _{0}) = \sqrt{\frac{8}{27}gL} \approx 0,55\sqrt{gL}.$$
Когда верхняя шайба почти достигнет своего положения внизу, скорость второй станет равной нулю, и вся энергия достанется верхней. В этот момент $$v = v_{m} = \sqrt{2gL} \approx 1,41\sqrt{gL}.$$
Спасибо, исправил.
Открою Вам секрет, чтобы в SVG появилась наклонная буква $v$ обозначающая скорость, нужно нажать в нижнем ряду клавиатуры шестую слева кнопку. Нет необходимости вставлять символ с кодом 965 — υ, который выглядит похоже. Но только нужно включить наклонный стиль символов.
Спасибо, исправил.