Теорема. Пусть P[x] — множество многочленов над полем от переменной x, + — операция сложения многочленов. Тогда (P[x],+) — абелева группа.
Очевидно, P[x]≠∅, + — БАО. Проверим выполнение аксиом абелевой группы:
-
Ассоциативность операции: ∀u(x),v(x),w(x)∈P[x]:(u(x)+v(x))+w(x)=u(x)+(v(x)+w(x)).Как известно, операция сложения многочленов обладает ассоциативностью.
-
Коммутативность операции: ∀u(x),v(x)∈P[x]:u(x)+v(x)=v(x)+u(x).Сложение многочленов также обладает и коммутативностью.
-
Покажем что существует нейтральный элемент по сложению, а именно: ∃e∈P[x]∀u(x)∈P[x]:u(x)+e=e+u(x)=u(x).Таким элементом выступает число 0, которое можно рассматривать как одночлен, или как многочлен с коэффициентами равными нулю. Из определения сложения многочленов, сложение с ним не изменит коэффициенты исходного многочлена, т.к. 0 является нейтральным элементом для сложения чисел.
-
Наконец, покажем существование противоположного элемента: ∀u(x)∈P[x]∃−u(x)∈P[x]:u(x)+(−u(x))=−u(x)+u(x)=e=0.Получить такой элемент для любого многочлена можно просто заменив все его коэффициенты на противоположные (простыми словами — поменяв их знаки). Суммой таких многочленов, в силу противоположности их коэффициентов как чисел, будет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, или просто 0.
Итак, все аксиомы выполняются, следовательно (P[x],+) — абелева группа.
Примеры решения задач
Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.
- Является ли (P3[x],+), где P3[x] — множество многочленов третьей степени, абелевой группой?
Решение
Очевидно, операция сложения многочленов сохраняет все свои свойства на этом множестве, а нейтральный и противоположный элементы ему принадлежат ⇒ все аксиомы выполняются. Также, + остается БАО, а P3[x]≠∅. Значит, ответ положительный.
- Является ли (P3[x],⋅), где P3[x] — множество многочленов третьей степени, а ⋅ — операция умножения многочленов, абелевой группой?
Решение
Аналогично первому примеру, P3[x]≠∅. Однако, в случае умножения, произведением двух многочленов 3-й степени будет многочлен 6-й степени (по лемме о степени произведения), что выходит за границы рассматриваемого множества. Значит, (P3[x],⋅) — не абелева группа.
Смотрите также
- А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва: Наука, 1968. — 431с. (c. 132-134)
- К.Д. Фадеев Лекции по алгебре. — Москва: Наука, 1984. — 416с. (c. 54-55)
- А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 211-212)
- Белозёров Г.С. Конспект лекций.
Аддитивная группа многочленов
Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Аддитивная группа многочленов».
