Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису

Определение 1
Пусть задано линейное пространство $X$ над полем $\mathbb{P}$  $(X,\mathbb{P})$. Это линейное пространство называется конечномерным, если существует такое натуральное число $M \in \mathbb{N}$, что любая ЛНЗ система векторов пространства содержит не более $M$ векторов, в противном случае оно называется бесконечномерным.

Определение 2
Пусть $(X,\mathbb{P})$ — конечномерное пространство. Базисом пространства $X$ называется ЛНЗ система векторов, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.

Определение 3
Размерностью конечномерного пространства $X$ называется число векторов любого его базиса. Обозначается как $dimX$.

Определение 4
$\langle e_1,e_2,\ldots,e_m \rangle$ — старый базис
$\langle g_1,g_2,\ldots,g_m \rangle$ — новый базис
$x=\sum_{j=1}^{m}\alpha_je_j=\sum_{i=1}^{m}\beta_ig_i$
Тогда:
$\left\{\begin{matrix}g_{1}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\\ g_{2}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\\ \ldots\\ g_{m}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\end{matrix}\right.$ — система, описывающая переход от старого базиса к новому.