Критерии первообразности

$U_n$ — циклическая группа корней $n$-й степени из единицы. Образующий элемент группы $U_n$ называется первообразным корнем $n$-й степени из единицы.

Теорема 1 (Первый критерий первообразности)

Корень $n$-й степени из единицы будет первообразным корнем $n$-й степени из единицы $\Leftrightarrow$ не является корнем из единицы никакой степени $<n$.

Доказательство

Необходимость:
$E$ – первообразный корень степени $n$ из единицы .
$\forall m \in \mathbb{N}$, $m < n$, $E^m \ne 1$;
$U_n=$ $\{1, E, E^2, …, E^{n-1}\}$.
От противного. Пусть $E^m= 1$, $m < n$, тогда $E$ образует группу ${U}'_n$ (или $U_m$) = $\{1, E, E^2, …, E^{m-1}, E^m\}$ = $\{1, E, E^2, …, E^{m-1}\}$, где $E^m= 1$ и ${U}'_n= m$, но $m < n \Rightarrow$ ${U}'_n \ne U_n \Rightarrow$ $E$- не образующий элемент $U_n$. Получаем, что $\forall m \in \mathbb{N}$, $m < n$, $E^m \ne 1$.
Достаточность:
$\forall m \in \mathbb{N}$, $m < n$, $E^m \ne 1 \Rightarrow$
$E$ — первообразный корень из единицы степени $n$.
От противного. Пусть $E$-не является первообразным корнем $n$-й степени из единицы $\Rightarrow E$ не образует группу $U_n \Rightarrow$
$U^E_n= {E^0, E^1, E^2,…< E^{n-1} } \ne U_n \Rightarrow U^E_n \in U_n \Rightarrow \exists k, 1 \leqslant k \leqslant n-1,$ что $E^{k-1}=1$, но $0 \leqslant k+1 < n-1$, $m= k-1 \Rightarrow$ $\exists m \in \mathbb{N}$, $m < n$, $E^m = 1 \Rightarrow$ $E$ – первообразный корень степени $n$ из $1$.

Лемма

Если $E$ — первообразный корень степени $n$ из единицы, то
$E^m= 1 \Leftrightarrow m \vdots n$.

Доказательство

Необходимость:
Найдём $m= nq+r$, $0 \leq r \leq n-1$;
$1= E^m= E^{nq+n}= E^{nr}E^r= (E^n)^qE^r= 1^qE^r= E^r$.
Если $r \in \mathbb{N}$, то получим противоречие с первым критерием $r=0 \Rightarrow m \vdots n$.
Достаточность: $m \vdots n \Rightarrow m=nq$;
$E^m= E^{nq}= (E^n)^q= 1^q=1$.

Теорема 2 (Второй критерий первообразности)

Пусть $E$ — первообразный корень степени $n$ из единицы, тогда $E^k (k \in \mathbb{N})$ является первообразным корнем степени $n$ из единицы $\Leftrightarrow (n,k)=1$.

Доказательство

$(n,k)= d$; $n= n,d$; $k= k,d$; $(n_1, k_1)=1$.
Необходимость: $E$, $E^n$ — корни степени $n$ из единицы.
$(n,k)=1$
От противного. $(n,k)=d > 1 \Rightarrow n_1 < n$;
$(E^k)^{n_1} = (E^{k_1d})^{n_1}= E^{k_1dn_1}= E^{k_1(nd_1)}= E^{k_1n}= (E^n)^{k_1}= 1^{k_1}=1 \Rightarrow d=1$ противоречие.
Достаточность: $E$ — первообразный корень степени $n$ из единицы;
$(n,k)=1$;
$E^k$ — первообразный корень степени $n$ из единицы.
От противного. Пусть $E^k$ – не является первообразным корнем степени $n$ из единицы, тогда по первому критерию первообразности: $\exists m \in N$, $m < n$, $(E^k)^m= 1$;
$E^{km}=1 \Rightarrow$ по лемме $km \vdots n \Rightarrow m \vdots n$, но $m < n$ – противоречие.

ПРИМЕРЫ

Найти все первообразные корни группы $U_{12}$, пользуясь вторым критерием первообразности.

Даны корни из единицы $E_1 = i$, $E_3 = -i$. Построить группу $U_4$.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест по вышеизложенному материалу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   $U_n$ циклическая группа корней $n$-ой степени из 1. Первообразным корнем $n$-ой степени из 1 является________элемент группы $U_n$.

   • (образующий)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Установить соответствие между условиями теорем (критерии первообразности) и леммы:

   Элементы сортировки

   • не является корнем из единицы никакой степени $< n$
   • $m \vdots n$
   • $(n,k)=1$

   • Корень$n$-й степени из единицы будет первообразным корнем $n$-й степени из единицы $\Leftrightarrow$

   • Если $E$ - первообразный корень степени $n$ из единицы, то $E^m= 1 \Leftrightarrow$

   • Пусть $E$ - первообразный корень степени $n$ из единицы, тогда $E^k (k \in \mathbb{N})$является первообразным корнем степени $n$ из единицы $\Leftrightarrow$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Взаимно простыми называются числа, которые не имеют никаких общих делителей, кроме:

   • $i$ и $-i$
   • $1$ и $-1$
   • $1$,$-1$,$i$ и $-i$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Какое количество первообразных имеет $\sqrt[5]{1}$ ?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Все первообразные корни группы $U_9$

   • $E= \cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{13\pi}{6} + i\sin\frac{13\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Указать особенность первого и второго критерия

   • Оба критерия эквивалентны.
   • С помощью критериев первообразности находятся разные множества первообразных корней.
   • Второй критерий удобнее использовать на практике.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций.
2. Курош А.Г. Курс линейной алгебры. Издание тринадцатое, 2004. Стр.123-128.
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Наука, 1984. Стр.43-49.