Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.

Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал $dU$ функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка $d^2U$ изначальной функции $U$ , который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка $d^3U$ изначальной функции и т.д.

Теперь рассмотрим функцию $U=f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ и предположим, что переменные $x$ и $y$ — независимые переменные. По определению

$dU=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y$ .

При вычислении $d^2U$ обратим внимание, что дифференциалы $dx$ и $dy$ независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала

$d^2U=\partial[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x]+\partial [\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y]=\partial x\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\partial y\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\partial x[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x +$

$+ \frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x \partial y}\partial y]+\partial y[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}]=\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x^2+2\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x \partial y+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}\partial y^2.$

Вычисляя аналогичным образом $d^3U$ , получим

$d^3U=\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^3}\partial x^3+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^2 dy}\partial x^2 \partial y+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x \partial y^2}\partial x \partial y^2+\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial y^3}\partial y^3$ .

Эти выражения $d^2U$ и $d^3U$ приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

$d^nU=(\frac{\partial }{\partial x}\partial x+\frac{\partial }{\partial y}\partial y)$ ,

причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень $n$ , применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней $y \frac{\partial }{\partial x}$ и $\frac{\partial }{\partial y}$ будем считать указателями порядка производных по $x$ и $y$ от функции $f$ .

Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция $z=f(x,y)$ имеет в точке $P_{0}(x_{0},y_{0})$ дифференциал

$dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{o})\Delta y,$ (*)

или

$dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$ . (**)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

$Z-z_{0}=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$ .

Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала $dx$ .

Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции $z=f(x,y)$ в точке $P_{0}(x_{0},y_{0})$ , а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.

Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
$d(U+V)=dU+dV$
$d(UV)=UdV+VdU$
$d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2},$ $\ \ V\neq$ $0$

Литература

Тест на тему: Дифференциал

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

максимум из 12 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных