Пределы монотонных функций

Перед тем как рассматривать теорему, давайте вспомним, что такое монотонная функция и нарисуем  её график.

Функция f(x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in[a;b],x_{1}> x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})

Функция f(x) называется монотонно убывающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in [a;b] ,x_{1}>  x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})

Функция f(x) называется строго монотонно убывающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in [a;b],x_{1}>x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})

Функция f(x) называется строго монотонно возрастающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1},x_{2}\in[a;b], x_{1}>x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})

Пример графика монотонно возрастающей функции.

grafik1

 

На графике видно, что \forall x_{1}, x_{2} : x_{1}>x_{2}, соответствующие значения функции f(x_{1})\geq f(x_{2})

Пример графика монотонно убывающей функции.

grafik2

На графике видно, что \forall x_{1},x_{2} : x_{1}>x_{2}, соответствующие значения функции f(x_{1})\leq f(x_{2})

Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a;b], то в каждой точке x_{0}\in (a;b) эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках a и b правосторонний и левосторонний пределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция f(x) монотонно возрастает на [a;b]. Выберем произвольную внутреннюю точку x_{0}\in (a;b]. Тогда \forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow f(x)\leq f(x_{0})\Rightarrow f(x) ограничена сверху на [a;x_{0})\Rightarrow\exists\sup f(x)=M\leqslant f(x_{0}).
Согласно определению:
а) \forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow f(x) \leqslant M
б) \forall \varepsilon > 0\exists x_{\varepsilon }:M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }), обозначим \delta =x_{0}-x_{\varepsilon }>0.
Если x\in (x_{\varepsilon };x_{0})=(x_{0-\delta };x_{0}), то f(x_{\varepsilon })\leq f(x).
Итог: \forall \varepsilon >0\exists \delta>0:\forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0}):M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }) < f(x)\leq M<   M+\varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-M|< \varepsilon
\lim_{x\rightarrow x_{0-0} } f(x) = M
Итак f(x_{0}-0)= \sup f(x), a\leqslant x<x_{0} .
Аналогично доказываем, что функция имеет в точке x_{0}\in [a;b) предел справа причем f(x_{0}+0)=\inf f(x), x_{0}<x\leqslant b.
Следствие. Если функция f определена и монотонна на интервале (a;b), \forall\ x_{0}\in (a;b)\exists \ предел справа и слева, причем если f возрастает, то
f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)  \leq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=f(x_{0}+0),
если убывает, то
f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)  \geq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=f(x_{0}+0).

Литература

Тест

Тест по теме Пределы монотонных функций.

Желаем удачи!

Таблица лучших: Предел монотонной функции

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Пределы монотонных функций: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *