Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность

1. Определение предела по Коши и по Гейне

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке \varepsilon - \delta):

A — предел функции f(x) в точке a (и пишут \(\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A\)), если: \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon
В определении допускается, что x \neq a, то есть a может не принадлежать области определения функции.

Определение 1.2. (определение по Гейне):

A называется пределом функции f(x) в точке a, если \forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a, x_n\ne a то есть \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a, соответствующая последовательность значений {f(x_{n})} \rightarrow A, то есть \lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A.

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

\forall x:0<|x-a|<\delta

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка x принадлежит проколотой \delta-окрестности точки a(x\in \dot{U_{\delta }}(a))

2. Эквивалентность определений

Пусть число A является пределом функции f(x) в точке a по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность x_{n} , n \in N, то есть такую, для которой \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a. Покажем, что A является пределом по Гейне.

Зададим произвольное \varepsilon > 0 и укажем для него такое \delta > 0, что для всех x из условия 0 < |x-a| < \delta следует неравенство |f(x)-A | < \varepsilon. В силу того, что \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a, для \delta > 0 найдётся такой номер n_{\delta }\in N, что \forall n\geq n_{\delta } будет выполняться неравенство |f(x_{n})-A| < \varepsilon, то есть \lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A.

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что \lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A по Гейне, и покажем, что число A является пределом функции f(x) в точке a по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: \exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon. В качестве \delta рассмотрим \delta = \frac{1}{n}, а соответствующие значения x_{\delta } будем обозначать x_{n}. Тогда при любом n\in N выполняются условия |x_{n}-a|<\frac{1}{n} и |f(x_{n})- A | \geq \varepsilon. Отсюда следует, что последовательность x_{n} является подходящей, но число A не является пределом функции f(x) в точке a. Получили противоречие.

3. Примеры

Пример 3.1.

а) \lim\limits_{x\rightarrow 2 } x^{2} = 4

\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x:0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^{2}-4|<\varepsilon|x^{2}-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2|<5\delta <\varepsilon \Rightarrow 0<\delta <\frac{\varepsilon }{5} , например \delta =\frac{\varepsilon }{6}

б) \forall\left \{ x_{n} \right \}\rightarrow 2                                                                                 \lim\limits_{n\rightarrow 2 } f(x_{n}) =\lim\limits_{n\rightarrow 2} x_{n}^{2}=4

Пример 3.2.

Доказать, что f(x)=\sin \frac{1}{x} не имеет предела в точке 0.

\exists \left \{ {x_{n}}' \right \}\rightarrow 0 \exists \left \{ {x_{n}}'' \right \}\rightarrow 0

\left \{ f({x_{n}}') \right \}\rightarrow A_{1} \left \{ f({x_{n}}'') \right \}\rightarrow A_{2}

{x_{n}}':\sin \frac{1}{{x_{n}}'}=0\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}'}=\pi n\Rightarrow {x_{n}}' = \frac{1}{\pi n}\xrightarrow[ n\neq 0]{n\rightarrow \infty}0                                                            {x_{n}}'= \frac{1}{\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}')=0\rightarrow 0                                                                                                {x_{n}}'':\sin \frac{1}{{x_{n}}''}=1\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}''}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\Rightarrow {x_{n}}'' = \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}\xrightarrow[n\neq 0]{n\rightarrow \infty }0                  {x_{n}}''= \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}'')=1\rightarrow 1

Вывод: последовательность по Гейне не имеет предела.

Литература

 Тест

Тест по теме Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

Желаем удачи!

Таблица лучших: Предел последовательности

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
 

 

Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность: 2 комментария

  1. В доказательстве обратного неверна 3-я строчка. Отрицание импликации — это конъюнкция а не импликация:
    ¬(A=>B) = A /\ ¬B

    1. Доказывается невозможность одновременно быть пределом Гейне и не быть пределом по Коши. Если я правильно понял о каком месте Вы пишите.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *