Теорема Ролля о корне производной

Формулировка

Если f(x)\in C[a,b] (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b) тогда \exists \xi \in (a,b): f'(\xi )=0. Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая f(a)=f(b)=0 теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.

Доказательство

Обозначим M=sup f(x), m=inf f(x) для a\leq x\leq b. По теореме Вейерштрасса на отрезке [a,b] существуют такие точки c_{1} и c_{2}, что f(c_{1})=m, f(c_{2})=M. Если M=m, то f(x)=const, и в качестве \xi можно взять любую точку интервала (a,b).
Если m\neq M, то m<M, и поэтому c_{1}  0 такое, что U_{\delta}(c_{1})\subset (a,b). Так как для всех x\in U_{\delta }(c_{1}) выполняется условие f(x)\geq f(c_{1})=m, то по теореме Ферма f'(c_{1})=0, т.е. условие f'(\xi )=0 выполняется при \xi=c_{1}. Аналогично рассматривается случай когда c_{2}\in (a,b).

Геометрический смысл теоремы Ролля

При условиях теоремы \exists \xi \in (a,b): касательная к y=f(x) в точке (\xi, f(\xi )) параллельна оси ox

Rolla

Замечание! Все условия теоремы существенны.

Пример

Удовлетворяет ли функция y=2-|x|, определенная на всей вещественной оси, условиям теоремы?

... показать

Теорема Ролля о корне производной

Этот тест был составлен для того, чтобы проверить знание теоремы Ролля о корне производной

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165-166
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Теорема Ролля о корне производной: 2 комментария

  1. x, y, f принято писать наклонно. Можно, например, считать их формулами.
    Почему геометрический смысл без иллюстраций?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *