Классификация точек разрыва

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа $=(f(a+0))$

$=\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)(=f(a+0))$ и$=\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)(=f(a-0))$,

причём $=f(a-0)=f(a+0)\neq f(a),$ то точка $=a$  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке $=a$ .

Пример

1) $=f(x)=sgn^{2}x=\begin{cases}1, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$

$=sgn {x}=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$=\lim_{x\rightarrow +0}sgn^{2}x=1\neq 0$

точка 0-точка устранимого разрыва.

2) $=f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$ 

$=\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{x}_{0}\sin \frac{1}{x}=0\neq 1$

$=x=0$ точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

$=\exists f(a-0)< \infty$

$=\exists f(a+0)< \infty$  и   $=f(a+0)\neq f(a-0)$, то точка $=a$  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1) $=f(x)=sgnx=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$=f(+0)=1< \infty$

$=f(-0)=-1< \infty$

2)$=f(x)=\begin{cases}x^{2}, & \text{ } x> 0 \\ 5, & \text{ } x=0 \\2x-2, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

Определение:

Точка $=a$  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

$=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^{2}}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$

$=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & \text{ } x> 0 \\ 1, & \text{ } x=0 \\ 2x, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2x=0$
$=\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x}=\infty$

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
•  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

"Разрывность функции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   • Точки устранимого разрыва
   • Точки разрыва 1-го рода
   • Точки разрыва 2-го рода
   • Точки разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   • Точкой разрыва называется такая точка в которой функция не является (непрерывной)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   Элементы сортировки

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x< 0,x\in \mathbb{R} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x<0\\ 0, & \text{ } x=0, x\in \mathbb{R} \\ 1, & \text{ } x> 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и $=f(a+0)\neq f(a-0)$,то точка $=a$…

   • точка разрыва 1-го рода
   • точка устранимого разрыва
   • точка разрыва 2-го рода
   • точка разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))