Показать, что равномерная функция $f(x)=\frac{1}{x}$ на $(0,1)$ не является равномерно непрерывной.
$\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0$, что $|\frac{1}{n} — \frac{1}{n_0}| < \varepsilon$ $\forall~n$, что $|x-x_0| < \delta$.
$|\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}|<\varepsilon$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{n}-\varepsilon < \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} + \varepsilon$ $\Rightarrow \frac{n_0}{1+\varepsilon n_0} < n < \frac{n_0}{1-\varepsilon n_0}$ $\Rightarrow$ $n_o — \frac{\varepsilon n^2_0}{1+\varepsilon n_0} < n < n_0 + \frac{\varepsilon n^2_0}{1-\varepsilon n_0}$ $\rightarrow 0$, $n \rightarrow \infty$.
Это значит, что $|x-x_0|$ может быть меньше заданного положительного числа, но какое бы мы не взяли положительное $\delta$, мы можем приближать $n_0$ к $0$ так близко, что $|\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}| > \varepsilon$, однако $|n — n_0| < \delta$. Следовательно, функция $f(x)=\frac{1}{x}$ является непрерывной, но не равномерно непрерывной на $(0,1)$.

Исследовать на равномерную непрерывность функцию $f(x) = \frac{x}{4-x^2}$ на отрезке $[-1,1]$.

$|f(x_1) — f(x_2)|$ $=$ $|\frac{x_1}{4-x_1^2} — \frac{x_2}{4-x_2^2}|$ $=$ $|\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| \cdot |x_1-x_2|$.

$|\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| < \frac{4+1}{3 \cdot 3}$ $= \frac{5}{9} < 1$.

Зафиксируем произвольное $\varepsilon > 0$ и положим $\delta = \varepsilon$.

Тогда $|x_1 — x_2| < \delta$, $\forall x_1,~x_2$ $(x_1,~x_2~\epsilon ~ [-1,1])$ $| f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon$.

Следовательно, функция $f(x)$ на $[-1,1]$ равномерно непрерывна.

По теореме Лагранжа $\forall x_1\geq 1$ и $\forall x_2\geq 1$

$|f(x_2)-f(x_1)|$ $=$ $|f(\xi)||x_2-x_1|$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt\xi)}|x_2-x_1|<\frac{1}{2}|x_2-x_1|$

Если для $\varepsilon>0$ выбрать любое $\delta$, $0<\delta\leq2\varepsilon$, то при $|x_2-x_1|<\delta$ выполняется $~$ $|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon$, иначе говоря, $f(x)=\sqrt{x}$ является равномерно непрерывной на $[1,+\infty]$.