М1570. Выпуклый многогранник с шестью вершинами

Задачи из журнала «Квант» (1996 год, выпуск 5)

Условие:

Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Доказать, что у  него ровно 6 прямых двугранных углов.

Доказательство:

Противоположные грани нашего многогранника симметричны относительно центра сферы О и потому параллельны. Все эти грани — треугольники (поскольку многогранник — выпуклая оболочка трех пар диаметрально противоположных точек сферы). Пусть AB — ребро прямого двугранного угла, образуемого плоскостями граней ABC и ABC'. Эти две плоскости, а также параллельные им плоскости A'B'C' и A'B'C, пересекают сферу по окружностям. Эти четыре окружности пересекаются в восьми точках — вершинах прямоугольного треугольного параллелепипеда(рис. 2). Точки C и C' должны (так же как и A и  A' B и  B') лежать в некоторых двух противоположных вершинах этого параллелепипеда. Соответственно (быть может, поменяв обозначения точек A и B), мы получаем единственный возможный пример — октаэдр ABCA'B'C', вершины которого — это шесть вершин прямоугольного треугольного параллелепипеда ABCDD'C'A'B'(рис. 1). У этого октаэдра, очевидно, ровно шесть прямых двугранных углов — при ребрах AB, BC, CA', A'B', B'C', C'A (и шесть — тупых).

Jaja1

Jaja2

М1570. Выпуклый многогранник с шестью вершинами: 5 комментариев

    1. Название было придумано. Задачу добавил. Svg перерисовал руками.

    1. Явный размер не указывал, но на 4-х различных устройствах все буквы отображаются

      1. Если размер не задавать явно, то при включении SVG в в страницу побеждают значения из CSS. В данном случае, это проявляется в виде текста высотой в два пикселя при просмотре страницы и нормальной высоты текст при просмотре отдельно.
        Но если сейчас на рисунках выше Вы видите «правильный» текст (тем более на 4-х устройствах), то можно ничего не делать — это просто у меня глаза устали и неудачно масштабируют буквы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *