Пусть функции [latex]u=u(x)[/latex] и [latex]v=v(x)[/latex] определены и непрерывны вместе со своими первыми производными на отрезке [latex][a,b][/latex] во всех точках. Исключением есть только точка [latex]b[/latex], которая может быть равна и [latex]+\infty[/latex]. Тогда имеет место равенство:

Где [latex]uv|_{a}^{b}[/latex] — двойная подстановка и под ней понимаем разность:

При этом существование [latex]\int_{a}^{b}vdu[/latex] вытекает из существования интеграла [latex]\int_{a}^{b}udv[/latex] и двойной подстановки [latex]uv|_{a}^{b}[/latex].

Если любые два выражения из трех в равенстве имеют смысл, то и третье выражение тоже имеет смысл.

Доказательство

Возьмем [latex]x_0[/latex] такое, что [latex]a < x_0 < b[/latex] проинтегрируем данный интеграл по частям на промежутке [latex][a, x_0][/latex]:

Пусть теперь [latex]x_0[/latex] стремится к [latex]b[/latex]. По условию два из входящих в данное равенство выражений имеют конечные пределы при [latex]x \to x_0[/latex]. Следовательно третье выражение также имеет конечный предел. Равенство доказано с помощью предельного перехода.

Литература

• Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления» ФИЗМАТЛИТ, 1964 т.2, ст. 602-604
• Л.Д. Кудрявцев «Курс Математического анализа» М.: Высшая школа т.1, ст. 654
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 365-364

Тест : Интегрирование по частям

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Интегрирование по частям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Для равенства $$\int\limits_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}= ? |_{0}^{1} — \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x}$$ вместо «?»выбрать недостающее выражение

   • $\ln x(x+1)$
   • $\ln x *\arctan x$
   • $\arcsin x*\ln x$
   • $\arctan x / x$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Из определения метода интегрирования по частям выбрать правильные утверждения

   • Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть только определенны на промежутке $[a,b]$
   • Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть только непрерывны на промежутке $[a,b]$
   • Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть непрерывно дифференцируемы на промежутке $[a,b]$
   • Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть определенны и непрерывны на промежутке $[a,b]$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Вставьте недостающее выражение

   • Пусть функции $$u=u(x)$$ и $$v=v(x)$$ (определены) и непрерывны вместе со своими первыми производными на промежутке $$[a,b]$$ во всех точках.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Отсортируйте выражения и знаки двойной подстановки в правильном порядке

   • $u(x_0)$
   • $v(x_0)$
   • $ -$
   • $u(a)$
   • $v(a)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Как называется предел [latex]\lim_{x \to b} u(x)v(x)-u(a)v(a)[/latex]?
   Правильно
   

   Неправильно