Следствие (Формула Тейлора с остатком в форме Пеано)

Формулировка

Пусть   U \subset \mathbb{R}^{n}  —  открытая окрестность точки   x \in \mathbb{R}^{n}  и функция   f: U \rightarrow \mathbb{R}  имеет в    U  непрерывные частные производные по всем переменным до порядка  m  включительно.

Пусть также   h \in \mathbb{R}^{n}  и   \left[ x..x+h \right] \subset U . Тогда справедливо представление

$$ f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} + o\left(\left| h \right|^m\right) $$
при  \left| h \right| \rightarrow 0 , где  \left| h \right| = \sqrt{h_{1}^{2} + \cdots h_{n}^{2}}.

Доказательство

В условиях текущей теоремы справедлива теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
$$ f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} + r_{m}\left(x\right) ~~~~~~~~~~ \left( * \right) $$

где при некотором   \theta \in \left(0 .. 1 \right)

$$ r_{m}\left(x\right) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^{m}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{m}} } \left( x + \theta h \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} $$

По условию, все производные функции  f до порядка  m включительно непрерывны в окрестности  U . Значит, справедливо представление
$$ \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}} \left( x + \theta h \right) = \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) + \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left( x \right) $$
где каждая из функций  \alpha_{i_1, \cdots i_m} является бесконечно малой при  \left| h \right| \rightarrow 0 .
При каждом  i = \overline{1,m} , очевидно, справедливо неравенство
$$ \left| h_i \right| = \sqrt{h_{i}^{2}} \leq \sqrt{h_{1}^{2} + \cdots h_{n}^{2}} = \left| h \right| ~~~ \Rightarrow ~~~ \left|h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} \right| \leq \left| h \right| ^ m ~~~~~~~~~~ \left( ** \right)$$
А тогда при  \left| h \right| \rightarrow 0 имеем:
$$ \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left(x\right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = o\left(\left| h \right|^m\right) ~~~ \Rightarrow ~~~ \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \alpha_{i_1, \cdots i_m} \left(x\right)h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = o\left(\left| h \right|^m\right) ~~~~~~~~~~ \left( *** \right)$$
Подставим  \left( ** \right) и  \left( *** \right) в исходную формулу для остатка в форме Лагранжа: при  \left| h \right| \rightarrow 0
$$ r_{m}\left(x\right) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} + \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left(x\right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = $$
$$ = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} + o\left(\left| h \right|^m\right) $$
Наконец, подставив полученное выражение для остатка в формулу  \left( * \right) , получим доказываемую формулу.

Примеры

Рассмотрим два разложения по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано в окрестности нуля: при  x^2 + y^2 \rightarrow 0
 e^{x^2 + y} = 1 + y + x^2 + \frac{1}{2}y^2 + x^2 y + \frac{1}{6}y^3 + \underline{o}\left(\left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)^3\right)
 e^x \sin y = y + xy - \frac{1}{6}y^3 + \frac{1}{2}x^2 y + \underline{o}\left(\left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)^3\right)

Тест для закрепления материала

Следствие (Формула Тейлора с остатком в форме Пеано): 2 комментария

  1. Отсутствуют
    — тесты
    — рисунки (ну, хоть какие)
    — гиперссылки на другие разделы сайта или куда-либо вообще.

    1. В запись добавлена ссылка на одномерный аналог теоремы и тесты. Иллюстрация добавлена в основную запись об остатке в форме Лагранжа.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *