Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.
Дифференциалы высших порядков
Полный дифференциал [latex]dU[/latex] функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка [latex]d^2U[/latex] изначальной функции [latex]U[/latex], который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка [latex]d^3U[/latex] изначальной функции и т.д.
Теперь рассмотрим функцию [latex]U=f(x,y)[/latex] двух переменных [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] и предположим, что переменные [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] — независимые переменные. По определению
При вычислении [latex]d^2U[/latex] обратим внимание, что дифференциалы [latex]dx[/latex] и [latex]dy[/latex] независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала
Вычисляя аналогичным образом [latex]d^3U[/latex], получим
Эти выражения [latex]d^2U[/latex] и [latex]d^3U[/latex] приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:
причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень [latex]n[/latex], применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней [latex]y \frac{\partial }{\partial x}[/latex] и [latex]\frac{\partial }{\partial y}[/latex] будем считать указателями порядка производных по [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] от функции [latex]f[/latex].
Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция [latex]z=f(x,y)[/latex] имеет в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] дифференциал
или
Рассмотрим уравнение касательной плоскости
Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала [latex]dx[/latex].
Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции [latex]z=f(x,y)[/latex] в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex], а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.
Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
[latex]d(U+V)=dU+dV[/latex]
[latex]d(UV)=UdV+VdU[/latex]
[latex]d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2},[/latex][latex] \ \ V\neq[/latex][latex]0[/latex]
Литература
- В.И.Смирнов. Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука». 1974. стр. 366-368
- Конспект лекций Лысенко З.М.
- Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.1, стр. 375-377
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов — 3-е издание, стр. 249-251
Тест на тему: Дифференциал
Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал
Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
— Укажите страницы в списке литературы.
— Не нужно разделять литературу на рекомендованную и использованную. Просто «Литература».
— Большая часть тестов относится к функциям одной переменной. Это здесь неуместно. Исправьте.
— Синус и косинус кодируется так — \sin \cos
— Сделайте ссылки на другие разделы сайта.
— Уточните в названии, что речь идет о Rn.