Ограниченность сходящейся последовательности

Определение

Пусть задано метрическое пространство $X$. Последовательность $\{ x^{(n)} \}$ называется ограниченной, если существует $C > 0$ и существует $a \in X$ такие, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство: $\rho(x^{(n)}, a) \le C$.

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство

Пусть дана последовательность $\{x^{(n)}\}$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$. По определению сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$. По определению ограниченной числовой последовательности, числовая последовательность $\{\rho(x^{(n)}, a)\}$ ограничена, то есть существует $C \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $k \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\rho(x^{(k)}, a) \le C$. По определению ограниченной последовательности $\{x^{(n)}\}$ — ограничена.

Источники

• Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. «Курс лекций по математическому анализу», ч.1, 2009 г. стр.244
• Tер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа», 2001 г. стр. 225

Предел сходящейся последовательности

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые вопросы по темам «Определение предела сходящейся последовательности. Единственность предела сходящейся последоваетльности. Ограниченность сходящейся последовательности».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо за прохождение теста!

максимум из 8 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Если $\lim\limits_{n\to\infty}\rho(x^{(n)}, x)=0$, то говорят, что последовательность $\{x^{(n)}\}$

   • (сходится, сходится к точке x, имеет предел, ограничена, стремится к x).
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 2

   Является ли утверждение верным? Если нет, укажите, где допущена ошибка.
   Последовательность $\{x^{(n)}\}$ называется ограниченной, если $\exists C > 0$ $\exists a \in X: \exists n \in \mathbb{N}: \rho(x^{(n)}, a) \le C$.

   • Утверждение верно.
   • Утверждение ошибочно. Последовательность $\{x^{(n)}\}$ называется ограниченной, если $\exists C > 0$ $\exists a \in X: \forall n \in \mathbb{N}: \rho(x^{(n)}, a) \ge C$.
   • Утверждение ошибочно. Последовательность $\{x^{(n)}\}$ называется ограниченной, если $\exists C > 0$ $\exists a \in X: \forall n \in \mathbb{N}: \rho(x^{(n)}, a) \le C$.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Следует ли из ограниченности сходящейся последовательности существование её предела?

   • Да
   • Нет
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   Выберите правильное утверждение.
   Если предел последовательности $\{x^{(n)}\}$ равен $x$, то

   • $\lim\limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, x) = n$.
   • в любой окрестности точки $x \in X$ содержатся все точки последовательности $\{x^{(n)}\}$.
   • последовательность $\{x^{(n)}\}$ расходится.
   • последовательность ограничена.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 2

   Может ли сходящаяся последовательность иметь несколько пределов?

   • Да Нет