Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Если функция интегрируема по Риману, то она ограничена( см. Теорема об ограниченности интегрируемой функции). Однако обратное, вообще говоря, не верно.

В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле, $D:\mathbb{R} \mapsto \left \{ 0,1 \right \}$, принимающую значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число.

Рассмотрим её на отрезке $[0;1]$. Очевидно, что она ограничена на нём. Покажем,что она не интегрируема.

Зафиксируем произвольное разбиение $T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}$ этого отрезка.

Если выбрать точки $\xi _{i}\in [x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}$ рациональными, то получим интегральную сумму:

$\sigma _{T}(\xi _{i};D)=\sum\limits_{i=1}^{n}\underset{1}{\underbrace{D(\xi _{i})}}\triangle x_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}\triangle x_{i}=b-a$ Перейдём к пределу:

$\lim_{\lambda \to0 }\sigma _{T}(\xi_{i},D)=b-a$ ,

а если взять $\xi _{i}$ иррациональными,то

$\sigma _{T}({\xi }’_{i},D)=\sum\limits_{i=1}^{n}\underset{0}{ \underbrace{D(\xi _{i})}}\triangle x_{i}=0\Rightarrow \lim_{\lambda \to0 }\sigma _{T}({\xi }’_{i},D)=0$.

Как видим, предел интегральной суммы зависит от выбора промежуточных точек, следовательно, исходя из определения интегрируемой по Риману функции, $D(x)$ — не интегрируема по Риману.

Вывод:

ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Литература:

• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа(в двух томах) — М.:Высш. школа,1981, т.1. — 687 с. (с 443)
• Р.М.Гаврилова, Г.С.Костецкая, А.Н.Карапетянц Методические указания по теме «Определенный интеграл»( с 6-7)

Дополнительно:

• Дирихле Петер Густав Лежён
• Необходимое условие интегрируемости функции по Риману