Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования

Определение

Если f(x) интегрируема в промежутке \left [ a,b \right ], то она интегрируема и в промежутке \left [ b,a \right ], причем

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int}}f(x)dx$$

Пример

Вычислить определённый интеграл \underset{4}{\overset{-2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx.

Преобразуем интеграл и затем применим свойство линейности интеграла.

$\underset{4}{\overset{-2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=\underset{-2}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{-2}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{4}=48+12-24=36$.

Свойство 1

Если функция f(x) интегрируема на отрезке \left [ a,b \right ], то она интегрируема на произвольном отрезке \left [ \alpha,\beta \right ] \subset \left [ a,b \right ].

Спойлер

Рассмотрим произвольное разбиение \tau _{\left [ \alpha ,\beta \right ]}=\left \{ x_{k} \right \}_{k=0}^{n} отрезка \left [ \alpha,\beta \right ].  Добавив к нему \left [ a,\alpha \right ] и \left [ \beta,b \right ], мы получим разбиение  \tau _{\left [ a ,b \right ]} отрезка  \left [ a,b \right ]. По условию интегрируемости f(x) получим :

$$0\leq \sum_{x_{k}\in \tau_{\left [ \alpha ,\beta \right ]}}^{n}\omega _{k}\Delta x_{k}\leq \sum_{x_{k}\in \tau \left [ a ,b \right ]}\omega _{k}\Delta x_{k}\rightarrow 0$$,

когда диаметр разбиения  \tau_{\left [ \alpha ,\beta \right ]} стремится к нулю. Этот факт и доказывает наше свойство.

[свернуть]

Пример

 Ранее мы уже показали, что функция $f(x)=8+2x-x^{2}$ интегрируема на отрезке \left [ -2, 4 \right ]. Согласно первому свойству она также интегрируема на промежутке \left [ 0,2 \right ].

$\underset{0}{\overset{2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{0}{\overset{2}{\int}}dx+2\underset{0}{\overset{2}{\int}}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{0}^{2}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{0}^{2}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{0}^{2}=\frac{52}{3}$

 

Свойство 2 (аддитивность интеграла)

Если функция f(x) интегрируема на отрезках  \left [ a,c \right ] и \left [ c,b \right ], то она также интегрируема на отрезке \left [ a,b \right ] и имеет место равенство

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$.

Спойлер

Пусть функция интегрируема в промежутке \left [ a,b \right ]. Интегрируемость функции в промежутках \left [ a,c \right ] и \left [ c,b \right ], следует из Свойства 1. Рассмотрим разбиение промежутка  \left [ a,b \right ] на части \tau _{\left [ \alpha ,\beta \right ]}=\left \{ x_{k} \right \}_{k=0}^{n}, причем точку  c будем считать одной из точек деления. Составив интегральную сумму, будем иметь

$$\sum_{a}^{b}f(\xi )\Delta x=\sum_{a}^{c}f(\xi )\Delta x + \sum_{c}^{b}f(\xi )\Delta x$$

Каждая из этих сумм имеет предел, который равен соответствующему  интегралу для любых точек

$$\xi _{k}\in \left [ x_{k},x_{k-1} \right ],(k=1,2,\dots,n)$$,

когда диаметр разбиения стремится к нулю. Т.е.

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$

 

[свернуть]

Пример

Снова возьмём функцию $f(x)=8+2x-x^{2}$ и рассмотрим значения интеграла на промежутках \left [ -2, 1 \right ] и \left [ 1, 4 \right ].

$\underset{-2}{\overset{1}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{1}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{1}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{1}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{-2}^{1}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{1}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{1}=18$

$\underset{1}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{1}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{1}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{1}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{1}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{1}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{1}^{4}=18$

Т.е. $$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$.

Литература

Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования

Начало теста

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *