Определение

Пусть $\left(X,\mathbb{P}\right)$, $\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
Отображение $A:X\rightarrow Y$ называется линейным оператором, если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ выполняется равенство:
$A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$.

Примеры часто используемых операторов:

• $\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор $\forall x\in X$ $\theta x=0$;
• $\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор $\forall x\in X$ $\varepsilon x=x$;
• $\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор $\forall x\in X$ $\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $\alpha\in\mathbb{P}$;
• $\rho:X\rightarrow L_{1}$ — оператор прямого проектирования, где $X=L_{1}+L_{2}$,
  $\forall x\in X$ $x=x_{1}+x_{2}$, $x_{1}\in L_{1}$, $x_{2}\in L_{2}$, $\rho x=x_{1}$.

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$
$C:X\rightarrow Y$, $C=A+B$
$Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$ $\forall x\in X$.

Произведение оператора и скаляра

Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$, $\lambda\in\mathbb{P}$.
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$.

Произведение линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$, $Y$, $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$.
Оператор $BA:X\rightarrow Z$, определяемый соотношением $BAx=B\left(Ax\right)$ $\forall x\in X$,
называется произведением операторов $A$ и $B$.

Линейные операторы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Заполните пропуски в определении:
   Пусть $\left(X,P\right)$, $\left(Y,P\right)$ — линейные пространства.
   Если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in P$ $A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$, то чем является $A:X\rightarrow Y$?

   • (линейным оператором)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Указать в заданном порядке, что называется суммой операторов, их произведением, произведением оператора на скаляр:

   • Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ $C:X\rightarrow Y$, $C=A+B$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$
   • Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$ $X$, $Y$, $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$ $BA=C$ $C:X\rightarrow Z$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(BA\right)x=b\left(Ax\right)$ $B\circ A$
   • Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$, $\lambda\in\mathbb{P}$. Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение: $C:X\rightarrow Y$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Сопоставить обозначение часто используемого оператора и его название:

   Элементы сортировки

   • Нулевой оператор
   • Тождественный оператор
   • Скалярный оператор
   • Дифференциальный оператор

   • $\Theta$

   • $\varepsilon$

   • $\alpha$

   • $D$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Список использованной литературы:

• Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. Московского ун-та, 1990, часть 2 «Линейная алгебра и геометрия», §10, стр.214-216.
• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
•  Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова