Симметрическая группа

Перестановкой $n$ элементов называется биекция [latex]n[/latex]- элементного множества на себя. Умножение перестановок проводится согласно правилу композиции отображений: [latex](\sigma \tau)=\sigma(\tau (i))[/latex], где [latex]\sigma, \tau \in S_{n}[/latex].

Для [latex]\sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}, \tau =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3& 2 & 1\end{pmatrix}[/latex] получим:

[latex]\sigma \tau=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}[/latex], а

[latex]\tau\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3& 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}[/latex], следовательно
[latex]\sigma\tau\neq\tau\sigma[/latex].

Рассмотрим некоторые свойства умножения перестановок, а именно:

  1. ассоциативность, т. е. [latex](\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma ) \forall \alpha, \beta, \gamma\in S_{n}[/latex];
  2. наличие единичного элемента [latex]e[/latex] такого, что [latex]\pi e=\pi=e\pi[/latex], где [latex]\pi[/latex]- произвольная перестановка;
  3. [latex]\forall \pi\in S_{n} \exists \pi^{-1}: \pi \pi^{-1}=\pi^{-1}\pi =e [/latex].

Отсюда следует определение группы [latex]S_{n}[/latex]:
Множество [latex]S_{n}[/latex], рассматриваемое вместе с естественной операцией умножения его элементов (композицией перестановок), называется симметрической группой степени [latex]n[/latex].

Основные свойства [latex]S_{n}[/latex]:

  1. [latex]S_{n}[/latex] — некоммутативна (при [latex]n\leq 3[/latex]);
  2. [latex]S_{n}[/latex] — неразрешима (при [latex] n\geq 5[/latex]);
  3. [latex]S_{n} — [/latex]разрешима (при [latex]n\leq 4[/latex]);
  4. Порядок симметрической группы перестановок (число элементов) [latex]S_{n}[/latex] равен [latex]n![/latex], т. е. [latex]|S_{n}|=n![/latex];
  5. Порядок подгруппы группы [latex]S_{n}[/latex], образованной множеством всех четных перестановок равен [latex](\frac{n}{2})![/latex];
  6. Каждая конечная группа [latex]G [/latex] изоморфна некоторой подгруппе группы [latex]S(G)[/latex] (теорема Кэли).

Рассмотрим симметрическую группу перестановок [latex]S_{3}[/latex]:

[latex]e=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 2 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 3 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 3 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 2 & 1\end{pmatrix}[/latex]

Порядок группы [latex]|S_{3}|=3!=6[/latex].

Пример: Граф Кэли симметрической группы [latex]S_{4}[/latex].

Список использованной литературы:

Подведение итогов.


Таблица лучших: Симметрическая группа

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Симметрическая группа: 1 комментарий

  1. путаница какая то! в источниках есть Курош, он же в своих книгах называет подстановкой то, что здесь — перестановка; а перестановкой — конкретный набор. то есть подстановка — отображение одной перестановки в другую

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *