Задача №2026 из журнала «Квант» (2007, №1 и №4)

Условие

На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ выбраны, соответственно, точки $P$, $M$, $N$, $Q$ так, что $\angle MAN =45^{o}$, $PM||AN$, $AN||NQ$. Отрезок $PQ$ пересекает $AM$ и $AN$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите что площадь треугольника $AFG$ равна сумме площадей треугольников $FMP$ и $GNQ$.

Решение

Прежде всего отметим, что $\angle PMA = \angle MAN = \angle ANQ$, и значит, треугольники $AFG$, $MFP$ и $NQG$ подобны (см. рисунок). Поэтому утверждение задачи равносильно равенству $GF^{2} = PF^{2} + GQ^{2}$. Далее, треугольники $NQD$ и $MPB$ подобны треугольникам $AMB$ и $AND$ соответственно, следовательно, $\frac{QD}{ND}=\frac{BM}{AB}, \frac{ND}{AD}=\frac{BP}{BM}$. Перемножив эти равенства, получим, что $BP = DQ$, или $AP = AQ$. Пусть $X$ — точка, симметричная $P$ относительно $AM$. Тогда $AX = AP = AQ$ и $\angle XAN =45^{o} — \angle MAP = \angle NAD$, т.е. $X$ также симметрична $Q$ относительно $AN$. Таким образом, $XF = FP, XG = GQ$ и $\angle XFG + \angle XGF = 360^{o} — 2\angle PFM — 2\angle QGN = 90^{o}$. Применив к прямоугольному треугольнику $XFG$ теорему Пифагора, получим искомое равенство.