Достаточные условия экстремума

Экстремумы функций одной переменной

Определение:

Функция [latex]f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex], имеет во внутренней точке [latex]x_{0}[/latex]:

  • Локальный минимум, если [latex]\exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\ge f(x_{ 0 })[/latex]
  • Строгий локальный минимум, если [latex]\exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) > f(x_{ 0 })[/latex]
  • Локальный максимум если [latex]\exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\le f(x_{ 0 })[/latex]
  • Строгий локальный максимум, если [latex]\exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) < f(x_{ 0 })[/latex]

Поиск локальных и абсолютных экстремумов — важная практическая задача, породившая широкий спектр методов оптимизации. Изучение свойств и условий существования локального экстремума функций в одномерном случае создает прочный фундамент, упрощающий изучение аналогичного материала в анализе функций многих переменных.


Достаточные условия экстремума в терминах первой производной

Пусть функция [latex]f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex] и дифференцируема в её проколотой окрестности [latex]\dot {U}(x_{0}) [/latex]. Пусть [latex]\dot {U}^{-}(x_{0}) = \{x \in U(x_{0})| x < x_{0} \}[/latex] и [latex]\dot {U}^{-}(x_{0}) = \{x \in U(x_{0})| x < x_{0} \}[/latex]. В введенных обозначениях справедливы заключения:

  1. [latex](\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{‘}(x)< 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0))\Rightarrow (f[/latex] в [latex]x_{0}[/latex] экстремума не имеет[latex])[/latex]
  2. [latex](\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{‘}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{‘}(x)< 0))\Rightarrow (x_{0}[/latex] — точка строгого локального минимума[latex])[/latex]
  3. [latex](\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{‘}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{‘}(x)< 0))\Rightarrow (x_{0}[/latex] — точка строгого локального максимума[latex])[/latex]
  4. [latex](\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{‘}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{‘}(x) > 0))\Rightarrow (f[/latex] в [latex]x_{0}[/latex] экстремума не имеет[latex])[/latex]

Резюмируя, изменение знака первой производной при переходе через точку — признак наличия в ней локального экстремума.

Спойлер

  1. Согласно достаточному условию монотонности функции в терминах первой производной, [latex]f[/latex] строго убывает в полуокрестностях [latex]x_{0}[/latex]. Следовательно, [latex]f(x_{0}) f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) [/latex], значит [latex]x_{0}[/latex] не является точкой локального экстремума (по определению). Доказательство пункта 4. аналогично.
  2. Аналогично первому случаю, рассмотрим характер монотонности [latex]f[/latex] в полуокрестностях точки [latex]x_{0}[/latex]: [latex]f \uparrow[/latex] на [latex]\dot {U}^{-}(x_{0})[/latex] и [latex]f \downarrow[/latex] на [latex]\dot {U}^{+}(x_{0})[/latex]. Следовательно, [latex]f(x_{0})> f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) [/latex] и [latex]f(x_{0}) > f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) [/latex], значит [latex]x_{0}[/latex] является точкой локального максимума (по определению). Доказательство пункта 3 симметрично приведенному.

[свернуть]

Замечание

Условия не является необходимыми.

Спойлер

Рассмотрим функцию [latex]f(x) = \begin{cases} x^{ 2 }(2+\cos (\frac { 1 }{ x } ),x\ne 0 \\ 0,x=0 \end{cases}[/latex] На иллюстрациях приведены графики [latex]f(x)[/latex] и [latex]f^{‘}(x)[/latex]. Достаточное условие существования экстремума в терминах первой производной не выполняется, несмотря на то, что точка [latex]x=0[/latex] — точка абсолютного минимума.

counterexample

counterexample first derivative

[свернуть]

Достаточные условия экстремума в терминах старших производных

Пусть функция [latex]f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] имеет в точке [latex]x_{0}[/latex] производные до [latex]n[/latex]-го порядка включительно. Если [latex](f^{‘}(x_{0}) = … = f^{n-1}(x_{0}) = 0) \wedge f^{n}(x_{0}) \ne 0[/latex], то при нечётном [latex]n[/latex] в [latex]x_{0}[/latex] экстремума нет, а при чётном [latex]n[/latex] — есть, причем, при [latex]f^{n}(x_{0}) > 0[/latex] это строгий локальный минимум, а при [latex]f^{n}(x_{0}) < 0[/latex] — строгий локальный максимум.

Спойлер

Достаточные условия экстремума в терминах производных тесно связаны с разложением функций в ряд Тейлора, благодаря чему естественным образом обобщаются на старшие размерности. Взаимосвязь эта будет постоянно использоваться в дальнейших выкладках.


Выпишем локальную формулу Тейлора, [latex](f(x)-f(x_{0}) = \frac {f^(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + \underline { o } (x-x_{0})^{n})[/latex] в форме [latex]f(x)-f(x_{0}) = \frac {f^(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + \alpha(x) (x-x_{0})^{n}, \lim _{ x \rightarrow x_{0} }{ \alpha(x) } = 0 \quad (1)[/latex].
Преобразуем выражение [latex](1)[/latex]: [latex]f(x)-f(x_{0}) = (\frac {f^(n)(x_{0})}{n!} + \alpha(x))(x-x_{0})^{n}[/latex]. В силу того, что [latex]f^{n}(x_{0}) \ne 0[/latex] (по условию) и [latex]\lim _{ x \rightarrow x_{0} }{ \alpha(x) } = 0[/latex], первый сомножитель имеет знак [latex]f^{n}(x_{0})[/latex] при [latex]x \rightarrow x_{0}[/latex]. Теперь условие чётности [latex]n[/latex] очевидно: в противном случае при переходе через точку [latex]x_{0}[/latex] правый сомножитель меняет знак, и судить о характере монотонности функции некорректно. Следовательно, знак выражения в левой части равенства при чётном [latex]n[/latex] в некоторой окрестности точки [latex]x_{0}[/latex] совпадает со знаком [latex]f^{n}(x_{0})[/latex].

[свернуть]

Аппарат дифференциального исчисления позволяет свести многие нетривиальные оптимизационные задачи к алгоритмическому решению. Использование достаточных критериев экстремума в терминах производных может приводить к более громоздким, но алгоритмически очевидным решениям, уступая частному подходу к физическим, геометрическим и подобных им задачам в изяществе, но не в эффективности.

Закон Снеллиуса

Закон преломления света в геометрической оптике

Согласно принципу Ферма между любой парой точек пространства луч света движется в средах по траектории, минимизирующей время прохождения пути. В изотропной среде свет распространяется по геодезической — прямолинейно.
Но какова траектория светового луча, проходящего через несколько однородных сред? Для ответа на этот вопрос рассмотрим случай двух граничащих сред.

Snellius_lav

Скорость света в изотропной среде постоянна. Обозначим её как [latex]c_{1}, c_{2}[/latex] соответственно. Тогда время прохождения указанного пути таково: [latex]t(x)=\frac{1}{c_{1}} \sqrt{h^{2}_{1}+x^{2}} + \frac{1}{c_{2}} \sqrt{h^{2}_{2}+(a-x)^{2}}[/latex]. Найдем экстремумы функции, используя достаточное условие: [latex]t^{‘}(x)=\frac{1}{c_{1}} \frac {x}{\sqrt{h^{2}_{1}+x^{2}}} — \frac{1}{c_{2}} \frac {a-x}{\sqrt{h^{2}_{2}+(a-x)^{2}}} = 0[/latex]. В соответствии с обозначениями на рисунке, [latex]t^{‘}(x)=c^{-1}_{1} \sin{\angle A_{1}XB}=c^{-1}_{2} \sin{\angle A_{2}XC}[/latex]. Функция [latex]t(x)[/latex] монотонно возрастает на [latex]\mathbb{R}[/latex], следовательно, точка [latex]x_{0}[/latex] такая, что [latex]t^{‘}(x_{0})= \frac{\sin{\angle A_{1}XB}}{\sin{\angle A_{2}XC}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}[/latex], является точкой глобального минимума. Полученное значение является аналитическим выражением закона Снеллиуса.

[свернуть]

Источники:

Достаточные условия экстремума

Закрепление материала.

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия экстремума: 1 комментарий

Добавить комментарий для Вячеслав Иванов Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *