Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

$P = y, Q = x$. Так как $\frac{dP}{dy} = 1 = \frac{dQ}{dx}$, так как этот интеграл не зависит от пути интегрирования то

$$\varphi = \left( x,y \right) = \int\limits_{0}^{x} P \left( t,0 \right)dt + \int\limits_{0}^{y} Q \left( x,u \right)dy = \int\limits_{0}^{1} 0 dt + \int\limits_{0}^{y}xdu = xy \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}xdy + ydx = xy \mid_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} = -13$$

$$\int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}P + \left ( x, y \right) dx + Q \left ( x , y \right)dy = \int\limits_{a}^{b} \left[ P \left ( x, y \right) + Q \left ( x, y \right) \frac {dy}{dx} \right]dx , \Rightarrow$$ $\Rightarrow \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \left ( x, y \right) dx + xdy = \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \left ( x + x + x\right) dx = \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} 3xdx = 3\left[ \left( \frac{{x}^{2}}{2} \right)\mid_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \right] =$

$$= 3\left[ \frac{16}{2} — \frac{49}{2} \right] = 3 \left( — \frac{33}{2} \right) = — \frac{49}{2}$$