Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Если каждая функция [latex]f_n(x)[/latex] имеет производную на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], а сама последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться хотя бы в одной точке [latex]x_{0}[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex],то последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться к некоторой предельной функции [latex]f_n(x)[/latex] равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] почленно, т.е. всюду на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] предельная функция имеет производную [latex]f'(x)[/latex] являющуюся предельной функцией последовательности [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex]

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходится равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex]. Из сходимости числовой последовательности [latex]\left\{ f_n(x_{0})\right\}[/latex] и из равномерной сходимости [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex] на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] следует, что для любого [latex]\varepsilon>0[/latex] найдется номер [latex]N(\varepsilon)[/latex] такой, что $$\mid f_{n+p}(x_{0})- f_{n}(x_{0})\mid<\frac{\varepsilon}{2}, \mid f'_{n+p}(x)- f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$$

для всех [latex]n\geq N(\varepsilon)[/latex], всех натуральных [latex]p[/latex] и для всех [latex]x[/latex] из сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] Так как для функции [latex]\left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right][/latex] при любых фиксированных номерах [latex]n[/latex] и [latex]p[/latex] выполнены на сегменте, ограниченном точками [latex]x[/latex] и [latex]x_{0}[/latex] все условия теоремы Лагранжа, то между [latex]x[/latex] и [latex]x_{0}[/latex] найдется такая точка [latex]\varepsilon[/latex] такая, что $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |-\left | f_{n+p}(x_{0})-f_{n}(x_{0}) \right |=\left | f’_{n+p}(\varepsilon )-f’_{n}(\varepsilon ) \right |(x-x_{0})$$

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |<\varepsilon $$

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] к некоторой предельной функции [latex]f(x)[/latex]

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке [latex]x[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] имеет производную.

Фиксируем произвольную точку [latex]x[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] и по ней [latex]\delta>0[/latex] такое, что бы [latex]\delta[/latex]-окрестность точки [latex]x[/latex] целиком содержалась в [latex]\left[a,b\right][/latex]

Обозначим символом [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex] множество всех чисел [latex]\Delta x[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0 < \left | \Delta x \right | < \delta[/latex], при [latex]a < x < b[/latex], условию [latex]0 < \Delta x < \delta[/latex] при [latex]x=a[/latex] и условию [latex] -\delta <\Delta x < 0 [/latex] при [latex]x=b[/latex] и докажем, что последовательность функций аргумента [latex]\Delta x[/latex] $$\varphi_{n}(\Delta x) = \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x}$$

сходится равномерно на указанном множестве [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex]

Для произвольного [latex]\varepsilon>0[/latex] в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex] найдется номер [latex]N(\varepsilon)[/latex] такой, что $$\left | f’_{n+p}(x)-f’_{n}(x) \right | < \varepsilon$$

Фиксируем теперь произвольное [latex]\Delta x[/latex] из множества [latex]\left
\{ \Delta x \right \}[/latex] и при любых фиксированных номерах [latex]n[/latex] и [latex]p[/latex] применим к функции $$\left [ f_{n+p}(t)-f_{n}(t) \right ]$$

по сегменту, ограниченному точками [latex]x[/latex] и [latex]\left ( x+\Delta x \right )[/latex], теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число [latex]\Theta[/latex] из интервала [latex]0 < \Theta < 1[/latex] такое, что $$\frac{\left [ f_{n+p}(x+\Delta x) — f_{n}(x+\Delta x) \right ] — \left [ f_{n+p}(x) — f_{n}(x) \right ]}{\Delta x}=$$ $$= f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Последнее равенство можно переписать в виде $$\varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) = f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Из этого равенства заключаем, что $$\left | \varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) \right | < \varepsilon$$

В силу критерия Коши последовательность [latex]\left \{ \varphi _{n}(\Delta x) \right \}[/latex] сходится равномерно на множестве [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex]. Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке [latex]\Delta x = 0[/latex]. Согласно этой теореме функция $$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке [latex]\Delta x = 0[/latex], причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\left [ \lim_{n\rightarrow \infty } \varphi_{n}(\Delta x) \right ] = $$ $$=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\varphi_{n}(\Delta x) \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 } \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x} \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$$

Это и доказывает, что производная предельной функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]x[/latex] существует и равна [latex]\lim_{n \rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. Теорема доказана.

    Список литературы:

  • В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа»
  • Функциональный ряд на момент 17.06.2016
  • маленькая викторина

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *