Пусть $\left\{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty}$–последовательность неотрицательных чисел. Рассмотрим ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \tag{15.3}$$
Теорема. Пусть $a_n \geqslant 0.$ Тогда ряд $\left( 15.3 \right) $ сходится в том и только в том случае, когда последовательность его частичных сумм $S_n$ ограничена сверху.
Так как $a_n \geqslant 0,$ то $S_n = S_{n−1} + a_n \geqslant S_{n−1}$, т. е. последовательность частичных сумм Sn монотонно возрастает. По теореме о пределе монотонной последовательности, сходимость $S_n$ (а значит, и сходимость ряда $\left( 15.3 \right) $) эквивалентна ее ограниченности.
Пример. Обобщенным гармоническим рядом называется ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},$ где число $s>0.$ Ранее мы уже установили, что при $s=1$ этот ряд расходится. Если $0<s<1,$ то$$S_n \left( s \right) = 1 +\frac{1}{2^s} + \ldots +\frac{1}{n^s} \geqslant 1 +\frac{1}{2} + \ldots +\frac{1}{n} = S_n,$$ и, в силу расходимости гармонического ряда, последовательность частичных сумм обобщенного гармонического ряда не ограничена сверху, т. е. обобщенный гармонический ряд расходится при $0<s \leqslant 1.$
По-другому расходимость обобщенного гармонического ряда при $0<s \leqslant 1$ можно было бы доказать так:$$S_n \left( s \right) = 1 +\frac{1}{2^s} + \ldots +\frac{1}{n^s}\geqslant n\cdot \frac{1}{n^s} = n ^{1-s} \rightarrow +\infty \ \ \left( n \rightarrow \infty \right),$$ откуда следует, что $S_n \left( s \right) \rightarrow +\infty \ \ \left( n \rightarrow \infty \right), $ т. е. расходимость ряда.
Рассмотрим теперь случай $s>1$ Пусть $n \in N.$ Выберем такое натуральное $m$, что $n<2^m.$ Тогда $$S_n \left( s \right) \leqslant S_{2^m-1} \left( s \right) = 1 + \left( \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} \right) + \left( \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} +\frac{1}{6^s} + \frac{1}{7^s} \right) + \ldots + $$ $$+ \left( \frac{1}{\left( 2^{m-1} \right)^s} + \frac{1}{\left( 2^{m-1}+1 \right)^s} +\ldots + \frac{1}{\left( 2^{m}-1 \right)^s}\right) \leqslant $$ $$\leqslant 1 + 2 \cdot \frac{1}{2^s} + 4 \cdot \frac{1}{4^s} + \ldots + 2^{m-1} \cdot \frac{1}{\left( 2^{m-1} \right)^s} = $$ $$ = 1 + 2^{1-s} + \left( 2^2 \right) ^{1-s} + \ldots + \left( 2^{m-1} \right) ^{1-s} = $$ $$ = 1 + 2^{1-s} + \left( 2^{1-s}\right)^2 + \ldots + \left( 2^{1-s}\right)^{m-1} = \frac{1 — \left( 2^{1-s} \right)^m}{1 — 2^{1-s}} < \frac{1}{1-2^{1-s}}$$
(условие $s>1$ использовано в последнем неравенстве). Отсюда следует, что при $s>1$ имеем $S_n\left( s \right) \leqslant \frac{1}{1−2^{1−s}}$, т. е. последовательность частичных сумм $\left\{S_n \left( s \right )\right\}$ ограничена сверху и, в силу доказанной теоремы, обобщенный гармонический ряд сходится при $s>1.$
Окончательно имеем: ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ сходится при $s>1$ и расходится при $0 < s \leqslant 1$. При $s \leqslant 0$ этот ряд, очевидно, расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.
- 15.2.1 Признак сравнения
- 15.2.2 Признак Даламбера
- 15.2.3 Признак Коши
- 15.2.4 Интегральный признак