Обратимость матриц

Замечание 1. Существование обратной матрицы следует из теоремы о полной линейной группе квадратных невырожденных матриц. А именно, обратная матрица — это обратный (симметрический) элемент группы.

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется правой обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$AA^{-1}=E.$$

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется левой обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$A^{-1}A=E.$$

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$AA^{-1}=A^{-1}A=E,$$ то есть она одновременно левая и правая обратная.

Замечание 2. Стоит заметить, что поле $P$ — это любое числовое поле.

Замечание 3. Матрицы $A$ и $A^{-1}$ называются взаимно обратными. Матрица $A$ называется обратимой.

Спойлер

Определение. Квадратная матрица над полем $P$ называется невырожденной(неособенной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае, матрица называется вырожденной(особенной).

Множество квадратных невырожденных матриц заданных над полем $P$ обозначим $M_{n}^{0}\left ( P \right ).$

[свернуть]

Обратимость вырожденной матрицы. Пусть дана вырожденная матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Ввиду некоммутативности умножения матриц, будем говорить о правой обратной матрице, то есть $$AA^{-1}=E.$$ Так как матрица $A$ вырожденная, то при условии существования $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$, по одному из свойств умножения матриц получаем, $\det \left ( AA^{-1} \right )= \det A \det A^{-1}=0\neq 1=\det E$, где $E$ — единичная матрица . Таким образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной. По тем же соображениям, вырожденная матрица не может иметь и левой обратной. Поэтому для вырожденной матрицы обратной не существует.

Обратимость невырожденной матрицы. Пусть дана $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$ и имеет вид: $$A =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}.$$ Введем вспомогательно понятие: присоединенная матрица $\widetilde{A}\in M_{n}\left (P\right )$ такая, что $\widetilde{A}=\begin{Vmatrix}A_{ij}\end{Vmatrix}$, где $A_{ij}$ — это алгебраические дополнения к элементу $a_{ij}$ матрицы $A$, $i=\overline{1, n}$ и $j=\overline{1, n}.$ Тогда $$\widetilde{A} = \begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}.$$ Найдем произведение $A\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$ и $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A$, используя теорему о разложении определителя по строке или столбцу и теорему Лапласа. Получаем $$A\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}=$$$$=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots &A_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}=$$$$=\det A\cdot E=\begin{pmatrix}\det A & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \det A & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A\end{pmatrix}.$$ На местах элементов главной диагонали оказываются суммы произведений элементов строки на их алгебраические дополнения, то есть $\det A$. Остальные элементы равны нулю, по теореме о «чужих» дополнениях, в связи с тем, что на их местах оказываются суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки. Тогда можно заключить, что обратной к матрице $A$ будет служить матрица, полученная из присоединенной матрицы $\widetilde{A}$ путем ее транспонирования и деления всех элементов на $\det A$, из чего следует алгоритм построения обратной матрицы. Тогда $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$ и $AA^{-1}=A^{-1}A = E.$

Замечание 4. Из теоремы об умножении определителей получаем, что $$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}.$$ И тут мы можем увидеть тот факт, что матрица обратная к невырожденной также невырождена.$$\det A \neq 0\Rightarrow\frac{1}{\det A}\neq 0.$$

Свойства операции обращения матрицы

$\left ( A^{-1} \right )^{-1}=A;$
$ \left ( \lambda A \right )^{-1}=\lambda ^{-1}A^{-1};$
$\left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1};$
$\left ( A^{-1} \right )^{k}=\left ( A^{k} \right )^{-1}.$

Лемма. Если матрица $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$ обратима, то существует только одна матрица, обратная к $A.$

Предположим обратное. То есть $\exists B,C \in M_{n}^{0}\left ( P \right )$ обратные к $A.$ Тогда $AC=E=BA$ и $B=BE=B\left( AC \right )=$ $=\left ( BA \right )C=EC=C$, то есть $B=C.$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться обратные матрицы. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

Найти матрицу обратную к данной $$A= \left (\begin{array}{rrr}-1 & -4& -2\\ 1 & -1& 1\\ 2 &2&4\end{array}\right ).$$

Решение

Найдем обратную матрицу по формуле. Найдем определитель исходной матрицы, используя теорему о разложении по строке. Разложим по первой строке.$$\det A= \left (\begin{array}{rrr}-1 & -4& -2\\ 1 & -1& 1\\ 2 & 2& 4 \end{array}\right )=\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )^{1+1}\left (\begin{array}{rrr}-1 & 1\\ 2 & 4 \end{array}\right )-4\left ( -1\right )^{1+2}\left (\begin{array}{rrr}1 & 1\\ 2 & 4\end{array}\right )-$$$$-2\left (-1\right )^{1+3}\left (\begin{array}{rrr}1 &-1 \\ 2 & 2\end{array}\right )=-\left ( -4-2 \right )+4\left ( 4-2 \right )-2\left ( 2+2 \right )=6+8-8=6.$$ Теперь найдем присоединенную матрицу. $$\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}-6 & -2 & 4 \\ 12 & 0 & -6 \\ -6 &-1 & 5\end{array}\right ).$$ Далее транспонируем присоединенную матрицу, $$\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}-6 & 12 & -6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 4 & -6 & 5\end{array}\right ).$$ Получаем, $$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{6}\left (\begin{array}{rrr}-6 & 12 & -6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 4 & -6 & 5\end{array}\right ).$$
Решить матричное уравнение $$\left (\begin{array}{rrr}2 & 4\\ 3 & 7\end{array}\right )X=\left (\begin{array}{rrr}4 & 7\\ 3 & 5\end{array}\right ).$$

Решение

Уравнение имеет вид $AX=B.$ Для решения уравнения относительно X умножим обе его части на $A^{-1}$слева: $$A^{-1}AX=A^{-1}B; $$$$EX=A^{-1}B; $$$$X=A^{-1} B.$$ Теперь найдем обратную к матрице $A$, используя формулу. $$\det A=\left (\begin{array}{rrr}2 & 4\\ 3 & 7\end{array}\right )=14-12=2.$$$$ \widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}7 & -3\\ -4 & 2\end{array}\right ), \left (\widetilde{A}\right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}7 & -4\\ -3 & 2\end{array}\right ).$$ Таким образом, обратная матрица: $$\displaystyle A^{-1}=\left (\begin{array}{rrr}\frac{7}{2} & -2\\ -\frac{3}{2} & 1\end{array}\right ).$$$$\displaystyle X=A^{-1}B=\left (\begin{array}{rrr}\frac{7}{2} & -2 \\ -\frac{3}{2} & 1 \end{array}\right )\left (\begin{array}{rrr}4 & 7\\ 3 & 5\end{array}\right )=\left (\begin{array}{rrr}8 & \frac{29}{2}\\ -3&-\frac{11}{2}\end{array}\right ).$$
Найти определитель матрицы обратной к матрице $A$, не вычисляя ее.$$A=\left (\begin{array}{rrr}2 & 1 &-1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{array}\right ).$$

Решение

Ранее, в замечании $4$ отмечалось, что $\displaystyle\det A^{-1}= \frac{1}{\det A}.$ Тогда вычислим определитель исходной матрицы.$$ \det A=\begin{vmatrix}2 & 1 &-1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix}=4+12+2=18.$$ Тогда, $\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{18}.$

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{18}.$
Можно ли получить из матрицы $A^{-1}$ матрицу $B$? Если можно, то укажите $\lambda$ такое, что $\left ( \lambda A \right )^{-1}=B.$ $$A=\left (\begin{array}{rrr}2 & -4\\ 1 & 1\end{array}\right ),\,B=\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right ).$$

Решение

Из свойства $2$ обратных матриц мы знаем, что $\left ( \lambda A \right )^{-1}=\lambda^{-1}A^{-1}.$ Найдем $A^{-1}$: $\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}1 & -1\\ 4 & 2\end{array}\right )$, $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right )$, $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{6}\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right ).$ Видим, что $\displaystyle \left(\frac{1}{6}\right)^{-1}A^{-1}=B\Rightarrow \lambda ^{-1}=6 \Rightarrow \lambda =\frac{1}{6}.$

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{6}.$
Даны матрицы $A$ и $B$, найти $\left ( AB \right )^{-1}.$$$ A=\left ( \begin{array}{rrr}2 & -6\\ 2 & 1\end{array}\right ),\, B=\left ( \begin{array}{rrr}3 & 8\\ 2 & 2\end{array}\right ).$$

Решение

По свойству $3$ обратных матриц получаем $\left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$ Тогда найдем обратные матрицы.$$\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}1 & -2\\ 6 & 2\end{array}\right ),\,\left (\widetilde{A}\right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right ),\, A^{-1}=\frac{1}{14}\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right ).$$$$\widetilde{B}=\left (\begin{array}{rrr}2 & -2\\ -8 & 3\end{array}\right ),\,\left (\widetilde{B}\right)^{T}=\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right ),\, B^{-1}=-\left ( \frac{1}{10} \right )\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right ).$$Тогда $$ \displaystyle \left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1}=-\left ( \frac{1}{10} \right )\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right )\frac{1}{14}\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right )=$$$$\displaystyle =\left (\begin{array}{rrr}-\frac{2}{10} & \frac{8}{10}\\ \frac{2}{10} & -\frac{3}{10}\end{array}\right )\left (\begin{array}{rrr}\frac{1}{14} &\frac{6}{14} \\ -\frac{2}{14} & \frac{2}{14}\end{array}\right )=\left (\begin{array}{rrr}-\frac{9}{70} & \frac{1}{35}\\ \frac{2}{35} & \frac{3}{70}\end{array}\right ).$$

Смотрите также

А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. — 431 с. — С. 95-98.
Конспект Г.С.Белозерова. Глава 4 — 18 с. — С. 11 — 12.
Д.К. Фаддеев. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1984. — 416 с. — С. 134-137.