Определение

Пусть задан ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.$$ Если существует такое неотрицательное число $R$ (конечное или равное $+\infty$ ), что $\forall z:\left | z \right |<R$ ряд сходится, а для $\forall z:\left | z \right |>R$ ряд расходится, то $R$ называют радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема о существовании радиуса сходимости

Для всякого степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ существует $R$ ($R\geq0$ — число или $+\infty$) такое, что:

1. Если $R=+\infty$, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.
2. Если $R=0$, то данный ряд сходится в одной точке $z=0$.
3. Если $R\neq0$ и $R\neq+\infty$, то ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ абсолютно сходится в круге $K=\left\{z:\left |z \right |< \left | z_{0} \right | \right\}$ и расходится вне замыкания круга $K$.

Доказательство

Пусть $D$ — множество всех точек сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$. Данное множество не является пустым, так как обязательно содержит точку $z=0$.

1. Рассмотрим ситуацию, когда множество $D$ не ограничено. Пусть точка $z_{1}$ — произвольная точка комплексной плоскости. Тогда возьмем такое $z_{0} \in D$, что $\left|z_{1} \right|<\left|z_{0} \right|$ (существование такой точки $z_{0}$ следует из неограниченности множества $D$). Следовательно, $z_{1} \in D$. Таким образом, всякая точка комплексной плоскости принадлежит области сходимости. Обозначают: $R=+\infty$.
2. Если $D$ ограничено и содержит только одну точку $z=0$, то ряд сходится только в точке $z=0$ и расходится в любой дугой точке комплексной плоскости. Пишут: $R=0$.
3. В том случае, когда множество $D$ ограничено и содержит хотя бы одну точку помимо $z=0$, то $$R=sup\left|z \right|, z \in D.$$ Докажем, что данный ряд сходится в круге $K=\left\{z:\left | z \right |<R\right\}$, a вне замыкания круга — расходится.(рис. 1) Пусть точка $z_{k} \in K$. Следовательно, $\left|z_{k} \right| < R$. По определению точной верхней грани это означает, что $$\exists z_{1} \in D:\left|z_{k} \right| < \left|z_{1} \right| < R.$$ Так как ряд сходится в точке $z_{1}$, то, по теореме Абеля, он абсолютно сходится в точке $z_{k}$. Таким образом, ряд абсолютно сходится в каждой точке, лежащей внутри круга $K$. Пусть точка $z_{2}$ лежит вне замыкания круга $K$ (рисунок). Тогда $\left|z_{2} \right| > R$. Следовательно, данная точка не принадлежит области сходимости по определению точной верхней грани. Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ расходится в точке $z_{2}$. Что и требовалось доказать.

Литература

• Лысенко З.М. Конспекты лекций.
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр 102-103.
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр 427-430
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, часть 2. стр 54-56

Существование радиуса сходимости

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Для закрепления вышеизложенного материала предлагаю пройти тест.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 5

   Расположите степенные ряды в порядке увеличения радиуса сходимости.

   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}\sqrt{n}}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^{n}}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{\left | x+4 \right |}^{n}}{n^{2}\cdot 3^{n}}$
   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{\left ( x+3 \right )}^{n}}{n!}$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}\sqrt{n}},\;\;\;R=1.5.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^{n}}, \;\;\; R=2.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{\left | x+4 \right |}^{n}}{n^{2}\cdot 3^{n}}, \;\;\; R=3.$
   $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{\left ( x+3 \right )}^{n}}{n!} \;\;\; R=+\infty.$
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 4

   Укажите степенные ряды, радиус сходимости которых равен единице.

   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{a^{\sqrt{n}}} \;\;\; \left ( a>0 \right )$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( 2n \right )!!}{\left ( 2n+1 \right )!!}x^{n}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}$
   Правильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \;\;\; R=+\infty.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}, \;\;\; R=4.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}, \;\;\; R=\frac{1}{e}.$

   Неправильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \;\;\; R=+\infty.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}, \;\;\; R=4.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}, \;\;\; R=\frac{1}{e}.$