Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте $\left [ a,b \right ]$ функций $s_{1}(x), s_{2}(x),…s_{n}(x),…$ сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции $S(x)$, то при любых $a\leq \alpha \leq \beta \leq b$

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция $S(x)$ является непрерывной, и поэтому интеграл

$$\int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции $S(x)$ по любому $\varepsilon < 0$ найдется такое $n_{0}$, что при $n\geq n_{0}$ для любого $a\leq x\leq b$ будет выполняться неравенство

$$\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$$

поэтому

$$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | = \left | \int_{\alpha }^{\beta }(S_{n}(x)-S(x))dx \right | \leq$$ $$\leq \int_{\alpha }^{\beta }\left | S_{n}(x) — S(x)dx \right |< \int_{\alpha }^{\beta }\frac{\varepsilon }{b-a}dx = \varepsilon \frac{\beta - \alpha }{b-a} \leq \varepsilon$$

Таким образом, по произвольному $\varepsilon < 0$ нашлось такое $n_{0}$, что при $n\geq n_{0}$

$$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | < \varepsilon$$

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд $u_{1}(x) + u_{2}(x) + … + u_{n}(x) +…$ сходиться равномерно на некотором сегменте $\left [ a,b \right ]$, и имеет суммой функцию $S(x)$, то функциональный ряд интегралов

$$\int_{\alpha }^{y }u_{1}(x)dx + \int_{\alpha }^{y }u_{2}(x)dx + … +\int_{\alpha }^{y }u_{n}(x)dx + …$$

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию

$$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

Доказательство. Пусть $S_{n}(x) — n$-ая частичная сумма ряда. Тогда

$$\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$$

будет, очевидно, $n$-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность $S_{1}(x), S_{2}(x),…S_{n}(x),…$ частичных сумм ряда сходиться на сегменте $\left [ a,b \right ]$ равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов

$$\int_{\alpha }^{y}S_{1}(x)dx, \int_{\alpha }^{y}S_{2}(x)dx, … ,\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx, …$$

так же сходиться и имеет пределом

$$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

Список литературы:
• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Одесса:2009 — Курс лекций по математическому анализу том 2, стр. 42-44
• Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления том 2, стр. 436-437