Пусть {an}∞n=1–последовательность неотрицательных чисел. Рассмотрим ряд ∞∑n=1an
Теорема. Пусть an⩾0. Тогда ряд (15.3) сходится в том и только в том случае, когда последовательность его частичных сумм Sn ограничена сверху.
Так как an⩾0, то Sn=Sn−1+an⩾Sn−1, т. е. последовательность частичных сумм Sn монотонно возрастает. По теореме о пределе монотонной последовательности, сходимость Sn (а значит, и сходимость ряда (15.3)) эквивалентна ее ограниченности.
Пример. Обобщенным гармоническим рядом называется ряд ∞∑n=11ns, где число s>0. Ранее мы уже установили, что при s=1 этот ряд расходится. Если 0<s<1, тоSn(s)=1+12s+…+1ns⩾1+12+…+1n=Sn, и, в силу расходимости гармонического ряда, последовательность частичных сумм обобщенного гармонического ряда не ограничена сверху, т. е. обобщенный гармонический ряд расходится при 0<s⩽1.
По-другому расходимость обобщенного гармонического ряда при 0<s⩽1 можно было бы доказать так:Sn(s)=1+12s+…+1ns⩾n⋅1ns=n1−s→+∞ (n→∞), откуда следует, что Sn(s)→+∞ (n→∞), т. е. расходимость ряда.
Рассмотрим теперь случай s>1 Пусть n∈N. Выберем такое натуральное m, что n<2m. Тогда Sn(s)⩽S2m−1(s)=1+(12s+13s)+(14s+15s+16s+17s)+…+ +(1(2m−1)s+1(2m−1+1)s+…+1(2m−1)s)⩽ ⩽1+2⋅12s+4⋅14s+…+2m−1⋅1(2m−1)s= =1+21−s+(22)1−s+…+(2m−1)1−s= =1+21−s+(21−s)2+…+(21−s)m−1=1—(21−s)m1—21−s<11−21−s
(условие s>1 использовано в последнем неравенстве). Отсюда следует, что при s>1 имеем Sn(s)⩽11−21−s, т. е. последовательность частичных сумм {Sn(s)} ограничена сверху и, в силу доказанной теоремы, обобщенный гармонический ряд сходится при s>1.
Окончательно имеем: ряд ∞∑n=11ns сходится при s>1 и расходится при 0<s⩽1. При s⩽0 этот ряд, очевидно, расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.
- 15.2.1 Признак сравнения
- 15.2.2 Признак Даламбера
- 15.2.3 Признак Коши
- 15.2.4 Интегральный признак
