Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности

Единственность предела последовательности.

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказтельство:

Предположим, что последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет два различных предела b и a, причем b < a.

Выберем [latex] \varepsilon > 0[/latex] таким, чтобы [latex]\varepsilon[/latex]-oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, [latex]\varepsilon = \frac{(a-b)}{3}[/latex]. Так как число b — предел последовательности [latex] X_{n} [/latex], то по заданному [latex]\varepsilon > 0[/latex] можно найти номер N такой, что [latex]X_{n}\in U_{\varepsilon }(b)[/latex] для всех [latex]n\geq N[/latex]. Поэтому вне интервала [latex] U_{\varepsilon }(b)[/latex] может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал [latex] U_{\varepsilon }(a)[/latex] может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Ограниченность сходящейся последовательности

Последовательность [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной снизу, если существует такое число [latex]C_{1}[/latex], что все члены последовательности удовлетворяют условию [latex]X_{n} \geq C_{1}[/latex], т. е.:

[latex]\exists C_{1}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\geq C_{1}[/latex]

Последовательность [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной сверху, если:

[latex]\exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\leq C_{2}[/latex]

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной, если:

[latex]\exists C_{1}, \exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow C_{1}\leq X_{n}\leq C_{2}[/latex]

это можно записать и так:

[latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex]

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство:

Пусть последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет предел, равный а. По определению предела для [latex]\varepsilon = 1[/latex] найдем номер N такой, что при всех [latex]n\geq N[/latex] имеет место неравенство [latex]\left | X_{n}-a \right | <1 [/latex]. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

[latex]\left | X_{n} \right | = \left | X_{n}-a+a \right |\leq \left | X_{n} -a\right |+\left | a \right |[/latex].

Поэтому при всех [latex]n\geq N[/latex] выполняется неравенство:

[latex]\left | X_{n} \right | < 1+\left | a \right |[/latex].

Положим [latex]c= max\left ( 1+\left | a \right |, \left | X_{1} \right | , … , \left | X_{N-1} \right |\right )[/latex], тогда [latex]\left | X_{n} \right | \leq C[/latex] при всех [latex]n\in \mathbb{N}[/latex], т. е. последовательность [latex] X_{n} [/latex] ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность [latex]\left \{ \left ( -1 \right )^{n} \right \}[/latex] ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие [latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex] не выполняется, т. е.

[latex]\forall C> 0:\exists n_{C} \in \mathbb{N}: \left | X_{n_{C}} \right | > C[/latex],

то говорят, что последовательность [latex]X_{n}[/latex] не ограничена.

Пример: Доказать, что последовательность [latex]\left \{\frac{1}{y_{n}} \right \} [/latex] является ограниченной, если [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = b[/latex], [latex]b\not \neq 0[/latex] и [latex] y_{n}\not\neq0[/latex], для всех [latex]n\in \mathbb{N}[/latex].

Решение

Так как [latex]b\not \neq 0[/latex], то [latex]\left | b \right |> 0[/latex]. По заданному числу [latex]\varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}[/latex] в силу определения предела последовательности найдется номер [latex]N_{0}[/latex] такой, что:

[latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex].

Используя неравенство для модуля разности

[latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |\leq \left | y_{n}-b \right |[/latex]

и неравенство [latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex], получаем [latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex], откуда [latex]\left | y_{n} \right |> \frac{\left | b \right |}{2}[/latex]. И поэтому для всех [latex]n\geq N_{0}[/latex] справедливо неравенство [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right |<\frac{2}{\left | b \right |}[/latex].

Пусть C = max [latex]\left (\left | \frac{1}{y_{1}} \right |,…,\left |\frac{1}{y_{N_{0-1}}} \right |,\frac{2}{\left | b \right |} \right )[/latex], для всех [latex]n\in \mathbb{N}[/latex] выполняется неравенство [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right | \leq C[/latex], т. е. [latex]\left \{ \frac{1}{y_{n}} \right \}[/latex] — ограниченная последовательность.

Литература:

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.40-42