Интеграл от положительной функции

$\square$Рассмотрим интегральную сумму Дарбу для данного интеграла

$\delta _{T}(\xi ,f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$.

Поскольку $f(\xi _{i})\geqslant 0$ и $\delta x_{i}\geqslant 0$, то и

$\delta _{T}(\xi ,f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i} \geqslant 0$,

тогда

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\delta _{T}(\xi ,f) \geqslant 0$.

Что и требовалось доказать.$\blacksquare$

Рассмотрим подынтегральную функцию $f(x)=x^{2}+3$. Поскольку $f(x)>0 , \; \forall \; x \in [1,2]$, то по свойству интеграла от положительной функции  $\int\limits_{1}^{2}(x^{2}+3)dx > 0$.