Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)
Если функция [latex] f\in C[a,b] [/latex] и дифференцируема на интервале [latex](a,b)[/latex], то [latex] \exists \theta \in (0,1)[/latex], [latex]f(a)-f(b)=f{}'(x_{0} )(b-a)[/latex], где [latex] x_{0}=a+ \theta(b-a)[/latex].
Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки [latex](a,f(a))[/latex] и [latex](b,f(b))[/latex], найдется точка [latex](c,f(c))[/latex], (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.
Доказательство
Рассмотрим функцию [latex]\varphi (x)=f(x)+\lambda x[/latex] где число [latex]\lambda[/latex] выберем таким, чтобы выполнялось условие [latex]\varphi (a)=\varphi (b)[/latex], т.е. [latex]f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b[/latex]. Отсюда находим: [latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex].
Так как функция [latex]\varphi (x)[/latex] непрерывна на отрезке [latex][a,b][/latex], дифференцируется на интервале [latex](a,b)[/latex] и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex] такая, что [latex]\varphi{}'(x_{0})=f{}'(x_{0})+\lambda =0[/latex]. Отсюда получаем, что [latex]f{}'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} [/latex], или [latex]f(b)-f(a)=f{}'(x_{0})(b-a). [/latex] [latex]\square [/latex]
[spoilergroup]
Доказать, что [latex]\ln (1+x)\leqslant x[/latex], [latex]x>0[/latex] (*),
[latex]\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], [latex]x_{1}\in \mathbb{R}[/latex], [latex]x_{2}\in \mathbb{R}[/latex]. (**)
а) Применяя теорему Лагранжа к функции [latex]f(x)=\ln (1+x)[/latex] на отрезке [latex][0,x][/latex], где [latex]x>0[/latex], получаем [latex]\ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi }x[/latex], откуда следует неравенство (*), так как [latex]0<\xi<x[/latex].
б) По теореме Лагранжа для функции [latex]\arctan x[/latex] на отрезке с концами [latex]x_{1}[/latex] и [latex]x_{2}[/latex] находим
$$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$$
откуда получаем [latex]\left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], так как [latex]0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1[/latex].
Полагая в соотношении (**) [latex]x_{2}=x[/latex], [latex]x_{1}=0[/latex], получаем
[latex]\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |[/latex], [latex]x\in \mathbb{R}[/latex],
и, в часности,
[latex]0\leqslant \arctan x\leqslant x[/latex], [latex]x\geqslant 0[/latex].
[/spoilergroup]
Использованная литература
- Конспект лекций Лысенко З.М.
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.153-154
- Л.Д.Кудрявцев, Курс Математического Анализа, Том 1, стр.318-323
Рекомендованная литература
Тест
Формула конечных приращений Лагранжа
Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа
Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Максим, посмотрите, пожалуйста, к какому разделу Вы написали статью. Это точно про n-мерное пространство?