Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Если функция $f\in C[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$ , то $\exists \theta \in (0,1)$ , $f(a)-f(b)=f{}'(x_{0} )(b-a)$ , где $x_{0}=a+ \theta(b-a)$ .

Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки $(a,f(a))$ и $(b,f(b))$ , найдется точка $(c,f(c))$ , (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Доказательство

Рассмотрим функцию $\varphi (x)=f(x)+\lambda x$ где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось условие $\varphi (a)=\varphi (b)$ , т.е. $f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b$ . Отсюда находим: $\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Так как функция $\varphi (x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , дифференцируется на интервале $(a,b)$ и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка $x_{0}\in (a,b)$ такая, что $\varphi{}'(x_{0})=f{}'(x_{0})+\lambda =0$ . Отсюда получаем, что $f{}'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ , или $f(b)-f(a)=f{}'(x_{0})(b-a).$ $\square$

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что $\ln (1+x)\leqslant x$ , $x>0$ (*),
$\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |$ , $x_{1}\in \mathbb{R}$ , $x_{2}\in \mathbb{R}$ . (**)
а) Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)=\ln (1+x)$ на отрезке $[0,x]$ , где $x>0$ , получаем $\ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi }x$ , откуда следует неравенство (*), так как $0<\xi<x$ .
б) По теореме Лагранжа для функции $\arctan x$ на отрезке с концами $x_{1}$ и $x_{2}$ находим
$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$
откуда получаем $\left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |$ , так как $0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1$ .
Полагая в соотношении (**) $x_{2}=x$ , $x_{1}=0$ , получаем
$\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |$ , $x\in \mathbb{R}$ ,
и, в часности,
$0\leqslant \arctan x\leqslant x$ , $x\geqslant 0$ .

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.153-154
Л.Д.Кудрявцев, Курс Математического Анализа, Том 1, стр.318-323

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ
В каком случае формула конечных приращений Лагранжа написана правильно? Выберете один вариант.
- $f(x)-f(y)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )$
- $f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )$
- $f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( x-y \right )\left (x_{i}+ y_{i} \right ) \right )$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 6
Допшите правильно оставшиеся части формулы конечных приращений Лагранжа
$\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )=$ …….
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формула конечных приращений Лагранжа: 1 комментарий

Максим, посмотрите, пожалуйста, к какому разделу Вы написали статью. Это точно про n-мерное пространство?

Ответить

Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Доказательство

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

Формула конечных приращений Лагранжа: 1 комментарий

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат