Ограниченность сходящейся последовательности

Определение

Пусть задано метрическое пространство $X$. Последовательность $\{ x^{(n)} \}$ называется ограниченной, если существует $C > 0$ и существует $a \in X$ такие, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство: $\rho(x^{(n)}, a) \le C$.

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство

Пусть дана последовательность $\{x^{(n)}\}$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$. По определению сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$. По определению ограниченной числовой последовательности, числовая последовательность $\{\rho(x^{(n)}, a)\}$ ограничена, то есть существует $C \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $k \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\rho(x^{(k)}, a) \le C$. По определению ограниченной последовательности $\{x^{(n)}\}$ — ограничена.

Спойлер

Рассмотрим последовательность $x^{(n)} = ((-1)^n, \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{2^n})$, $(n = 1, 2, \ldots)$ точек в пространстве $\mathbb{R}^3$ с заданной евклидовой метрикой. Эта последовательность ограничена: $\rho(x^{(n)}, 0) \le \sqrt{3}$, но не имеет предела, поскольку не имеет предела числовая последовательность, составленная из первых координат данной последовательности.

Последовательность $y_n = (\frac{n+1}{n}, \frac{1}{n}, \frac{2n-1}{n+3})$ $(n = 1, 2, \ldots)$ точек из $\mathbb{R}^3$, очевидно, имеет пределом точку $y = (1, 0, 2)$, так как сходимость в метрике $\mathbb{R}^n$ эквивалентна покоординатной.

[свернуть]

Источники

  • Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Предел сходящейся последовательности

Тестовые вопросы по темам «Определение предела сходящейся последовательности. Единственность предела сходящейся последоваетльности. Ограниченность сходящейся последовательности».

Ограниченность сходящейся последовательности: 2 комментария

  1. Неудачно выбран свободный тип ответа для «Следует ли из ограниченности сходящейся последовательности существование её предела?»

    Ответить

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *