Примеры открытых множеств

Точки $(x, y)$ удовлетворяющие $x^2 + y^2 = r^2$ окрашены синим. Точки $(x, y)$ удовлетворяющие $x^2 + y^2 < r^2$ окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар $B(x_0,r)$ является открытым множеством.
Пусть $x \in B(x_0,r)$. Докажем, что найдется окрестность $x$, которая целиком содержится в $B(x_0,r)$. Предположим, что $\rho = r — \left|x — x_0 \right|$. Тогда $\rho > 0$, так как $\left|x — x_0 \right| < r$. Покажем, что $B(x,\rho) \subset B(x_0,r)$. Пусть $y \in B(x,\rho)$. Тогда $\left|y — x \right| < \rho$. Оценим расстояние между $y$ и $x_0$. По неравенству треугольника имеем

$\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r$,

что и требовалось доказать.

В частности, при $n = 1$ открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов $a,b \in \mathbb{R}^n$, таких, что $a^i < b^i (i = 1…,n)$, открытым интервалом называется множество всех точек $x$, координаты которых удовлетворяют условиям $a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)$. Такой интервал обозначается через $(a^1,b^1;…;a^n,b^n)$.В частности, в $\mathbb{R}^2$ открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в $\mathbb{R}^3$ – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в $\mathbb{R}^n$ является открытым множеством.

Пусть $J$ – открытый интервал и пусть $x \in J$, т. е. $a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)$. Обозначим через $\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)$ и $\delta = min(\delta^1,…,\delta^n)$. Покажем, что $B(x,\delta)$ содержится в $J$. Действительно, если $y \in B(x,\delta)$, то $|y-x| < \delta$. Отсюда следует, что $|x^i -y^i| < \delta$ для всех $i = 1,…,n$. Пользуясь определением числа $\delta$, легко показать, что $a^i < y^i < bi$ для всех $i = 1,…,n$, так что $y \in J$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.232)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 350-351)
• Конспект лекций З.М. Лысенко.