М1606. Построение отрезка параллельного стороне треугольника и видимого из середины этой стороны под прямым углом

Задача из журнала «Квант» (1997, №5)

Условие

Дан треугольник $ABC$. Постройте отрезок $DE$ с концами на сторонах $AB$ и $BC$, параллельный стороне $AC$ и видимый из середины стороны $AC$ под прямым углом.

Решение

Задача легко решается методом подобия. Пусть $P$ — точка, в которой продолжение медианы $BK$ пересекает полуокружность с центром $K$ и диаметром $AC$ (см. рисунок). При гомотетии с центром $B$, переводящей точку $P$ в точку $K$, отрезок $AC$ перейдет в искомый отрезок   $DE$: этот отрезок параллелен $AC$ и $\angle DKE = \angle APC=90$

Заметим, что треугольник $AKP$(а также $CKP$) — равнобедренный, поэтому углы $\angle DKA = \angle KAP$ и $\angle DKB = \angle APK$ равны (и, аналогично, $\angle BKE = \angle EKC$). Таким образом, для построения нужного отрезка $DE$ достаточно провести биссектрисы $KD$ и $KE$ углов $AKB$ и $BKC$. То, что полученный отрезок $DE$ обладает нужными свойствами, легко доказать непосредственно: $\angle DKE = 90$, поскольку он состоит из половинок углов, дающие в сумме развернутый угол, а параллельность $DE$ и $AC$ вытекает из равенств, использующих свойства биссектрис:

$\frac {AD}{DB} = \frac {AK}{KB} = \frac {CK}{KB} = \frac {CE}{EB}$.

Задача имеет и другие решения, связанные с подсчетом углов.

Р.Травкин, Н.Васильев, В.Сендеров