М1606. Построение отрезка параллельного стороне треугольника и видимого из середины этой стороны под прямым углом

Задача из журнала «Квант» (1997, №5)

Условие

Дан треугольник [latex]ABC[/latex]. Постройте отрезок [latex]DE[/latex] с концами на сторонах [latex]AB[/latex] и [latex]BC[/latex], параллельный стороне [latex]AC[/latex] и видимый из середины стороны [latex]AC[/latex] под прямым углом.

Решение

Задача легко решается методом подобия. Пусть [latex]P[/latex] — точка, в которой продолжение медианы [latex]BK[/latex] пересекает полуокружность с центром [latex]K[/latex] и диаметром [latex]AC[/latex] (см. рисунок). При гомотетии с центром [latex]B[/latex], переводящей точку [latex]P[/latex] в точку [latex]K[/latex], отрезок [latex]AC[/latex] перейдет в искомый отрезок   [latex]DE[/latex]: этот отрезок параллелен [latex]AC[/latex] и [latex]\angle DKE = \angle APC=90[/latex]
M1606
Заметим, что треугольник [latex]AKP[/latex](а также [latex]CKP[/latex]) — равнобедренный, поэтому углы [latex]\angle DKA = \angle KAP[/latex] и [latex]\angle DKB = \angle APK[/latex] равны (и, аналогично, [latex]\angle BKE = \angle EKC[/latex]). Таким образом, для построения нужного отрезка [latex]DE[/latex] достаточно провести биссектрисы [latex]KD[/latex] и [latex]KE[/latex] углов [latex]AKB[/latex] и [latex]BKC[/latex]. То, что полученный отрезок [latex]DE[/latex] обладает нужными свойствами, легко доказать непосредственно: [latex]\angle DKE = 90[/latex], поскольку он состоит из половинок углов, дающие в сумме развернутый угол, а параллельность [latex]DE[/latex] и [latex]AC[/latex] вытекает из равенств, использующих свойства биссектрис:

[latex]\frac {AD}{DB} = \frac {AK}{KB} = \frac {CK}{KB} = \frac {CE}{EB}[/latex].

Задача имеет и другие решения, связанные с подсчетом углов.

Р.Травкин, Н.Васильев, В.Сендеров

М1606. Построение отрезка параллельного стороне треугольника и видимого из середины этой стороны под прямым углом: 2 комментария

  1. И где тут DE, который нужно было построить?
    Довольно бедно с формулами получилось. Конечно задача хорошая, но не позволила Вам продемонстрировать мастерство владения laTeX.

    1. Исправлено. Мастерство владения laTeX постараюсь продемонстрировать в курсовой работе.

Добавить комментарий для Роман Бронфен-Бова Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *