Достаточные условия экстремума

Экстремумы функций одной переменной

Определение:

Функция

$f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , имеет во внутренней точке

$x_{0}$ :

Локальный минимум, если $\exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\ge f(x_{ 0 })$
Строгий локальный минимум, если $\exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) > f(x_{ 0 })$
Локальный максимум если $\exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\le f(x_{ 0 })$
Строгий локальный максимум, если $\exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) < f(x_{ 0 })$

Поиск локальных и абсолютных экстремумов — важная практическая задача, породившая широкий спектр методов оптимизации. Изучение свойств и условий существования локального экстремума функций в одномерном случае создает прочный фундамент, упрощающий изучение аналогичного материала в анализе функций многих переменных.

Достаточные условия экстремума в терминах первой производной

Пусть функция

$f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ непрерывна в точке

$x_{0}$ и дифференцируема в её проколотой окрестности

$\dot {U}(x_{0})$ . Пусть

$\dot {U}^{-}(x_{0}) = \{x \in U(x_{0})| x < x_{0} \}$ и

$\dot {U}^{-}(x_{0}) = \{x \in U(x_{0})| x < x_{0} \}$ . В введенных обозначениях справедливы заключения:

$(\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{‘}(x)< 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0))\Rightarrow (f$ в $x_{0}$ экстремума не имеет $)$
$(\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{‘}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{‘}(x)< 0))\Rightarrow (x_{0}$ — точка строгого локального минимума $)$
$(\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{‘}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{‘}(x)< 0))\Rightarrow (x_{0}$ — точка строгого локального максимума $)$
$(\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{‘}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{‘}(x) > 0))\Rightarrow (f$ в $x_{0}$ экстремума не имеет $)$

Резюмируя, изменение знака первой производной при переходе через точку — признак наличия в ней локального экстремума.

Спойлер

Согласно достаточному условию монотонности функции в терминах первой производной, $f$ строго убывает в полуокрестностях $x_{0}$ . Следовательно, $f(x_{0}) f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0})$ , значит $x_{0}$ не является точкой локального экстремума (по определению). Доказательство пункта 4. аналогично.
Аналогично первому случаю, рассмотрим характер монотонности $f$ в полуокрестностях точки $x_{0}$ : $f \uparrow$ на $\dot {U}^{-}(x_{0})$ и $f \downarrow$ на $\dot {U}^{+}(x_{0})$ . Следовательно, $f(x_{0})> f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0})$ и $f(x_{0}) > f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0})$ , значит $x_{0}$ является точкой локального максимума (по определению). Доказательство пункта 3 симметрично приведенному.

[свернуть]

Замечание

Условия не является необходимыми.

Спойлер

Рассмотрим функцию $f(x) = \begin{cases} x^{ 2 }(2+\cos (\frac { 1 }{ x } ),x\ne 0 \\ 0,x=0 \end{cases}$ На иллюстрациях приведены графики $f(x)$ и $f^{‘}(x)$ . Достаточное условие существования экстремума в терминах первой производной не выполняется, несмотря на то, что точка $x=0$ — точка абсолютного минимума.

[свернуть]

Достаточные условия экстремума в терминах старших производных

Пусть функция $f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ имеет в точке $x_{0}$ производные до $n$ -го порядка включительно. Если $(f^{‘}(x_{0}) = … = f^{n-1}(x_{0}) = 0) \wedge f^{n}(x_{0}) \ne 0$ , то при нечётном $n$ в $x_{0}$ экстремума нет, а при чётном $n$ — есть, причем, при $f^{n}(x_{0}) > 0$ это строгий локальный минимум, а при $f^{n}(x_{0}) < 0$ — строгий локальный максимум.

Спойлер

Достаточные условия экстремума в терминах производных тесно связаны с разложением функций в ряд Тейлора, благодаря чему естественным образом обобщаются на старшие размерности. Взаимосвязь эта будет постоянно использоваться в дальнейших выкладках.

Выпишем локальную формулу Тейлора, $(f(x)-f(x_{0}) = \frac {f^(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + \underline { o } (x-x_{0})^{n})$ в форме $f(x)-f(x_{0}) = \frac {f^(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + \alpha(x) (x-x_{0})^{n}, \lim _{ x \rightarrow x_{0} }{ \alpha(x) } = 0 \quad (1)$ .
Преобразуем выражение $(1)$ : $f(x)-f(x_{0}) = (\frac {f^(n)(x_{0})}{n!} + \alpha(x))(x-x_{0})^{n}$ . В силу того, что $f^{n}(x_{0}) \ne 0$ (по условию) и $\lim _{ x \rightarrow x_{0} }{ \alpha(x) } = 0$ , первый сомножитель имеет знак $f^{n}(x_{0})$ при $x \rightarrow x_{0}$ . Теперь условие чётности $n$ очевидно: в противном случае при переходе через точку $x_{0}$ правый сомножитель меняет знак, и судить о характере монотонности функции некорректно. Следовательно, знак выражения в левой части равенства при чётном $n$ в некоторой окрестности точки $x_{0}$ совпадает со знаком $f^{n}(x_{0})$ .

[свернуть]

Аппарат дифференциального исчисления позволяет свести многие нетривиальные оптимизационные задачи к алгоритмическому решению. Использование достаточных критериев экстремума в терминах производных может приводить к более громоздким, но алгоритмически очевидным решениям, уступая частному подходу к физическим, геометрическим и подобных им задачам в изяществе, но не в эффективности.

Закон Снеллиуса

Закон преломления света в геометрической оптике

Согласно принципу Ферма между любой парой точек пространства луч света движется в средах по траектории, минимизирующей время прохождения пути. В изотропной среде свет распространяется по геодезической — прямолинейно.
Но какова траектория светового луча, проходящего через несколько однородных сред? Для ответа на этот вопрос рассмотрим случай двух граничащих сред.

Скорость света в изотропной среде постоянна. Обозначим её как $c_{1}, c_{2}$ соответственно. Тогда время прохождения указанного пути таково: $t(x)=\frac{1}{c_{1}} \sqrt{h^{2}_{1}+x^{2}} + \frac{1}{c_{2}} \sqrt{h^{2}_{2}+(a-x)^{2}}$ . Найдем экстремумы функции, используя достаточное условие: $t^{‘}(x)=\frac{1}{c_{1}} \frac {x}{\sqrt{h^{2}_{1}+x^{2}}} — \frac{1}{c_{2}} \frac {a-x}{\sqrt{h^{2}_{2}+(a-x)^{2}}} = 0$ . В соответствии с обозначениями на рисунке, $t^{‘}(x)=c^{-1}_{1} \sin{\angle A_{1}XB}=c^{-1}_{2} \sin{\angle A_{2}XC}$ . Функция $t(x)$ монотонно возрастает на $\mathbb{R}$ , следовательно, точка $x_{0}$ такая, что $t^{‘}(x_{0})= \frac{\sin{\angle A_{1}XB}}{\sin{\angle A_{2}XC}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ , является точкой глобального минимума. Полученное значение является аналитическим выражением закона Снеллиуса.

[свернуть]

Источники:

Зорич В.А., Математический анализ, ФАЗИС, 1997, стр. 232-255
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., семестр 1